关于位运算的四则运算

首先，应该了解一些基本的位运算操作和基础知识：

• 　　<1> 等式 -n  = ~ (n-1) = ~n +1       (-n 等于各位取反后加1);
•        <2> 获取整数 n 的二进制最后一个1的方法：-n&n 或 (~n+1)&n  或 ~（n-1）&n    如： n=010100 ,则 -n = 101100 ,n&-n = 000100;
•        <3> 去掉整数n的二进制最后一个1的方法： n&(n-1)  ,如 n= 010100 ，n-1= 010011  ,n&(n-1) = 01000;
•        <4> a^b  可以得到没有进位的和  ,a&b可以得到各位产生的进位值。

一：位运算加法

　　原理：a^b可以得到没有进位的和，（a&b)<<1可以得到进位后的值。

　　代码1：

//循环控制法
    public static int add(int a ,int b){
        int temp=0;
        //当b!=0时，先获取没有进位的和，然后把进位的值赋值给b，直到b==0
        while(b!=0){         
            temp=a;
            a=a^b;          //获取没有进位的和
            b=(temp&b)<<1;    //把进位的值赋值给b
        }
        //当b==0的时候，就不需要进位运算，直接返回结果a
        return a;
    }

　　代码2：

    //递归法
    public static int add_recursion(int a, int b){
        if (b==0) return a;  //当b==0时，说明没有需要进位的值，则作为递归的出口
        else
        {
            int temp=a;
             a = a ^ b;                //获取两个数没有进位的和
             b = (temp & b) << 1;    //把进位的值赋值给b
            
            return add_recursion(a, b);     //递归调用
        }
    }

二：位运算减法

　　原理： a-b =  a+(-b) 也就是将位运算的减法转化成为位运算的加法,所以直接v调用位运算的加法即可。（注意-n=~n+1）

　　代码：　

//位运算减法
    public static int subduction(int a,int b){
        return add(a, add(~b,1));
    }

三：位运算乘法

　　原理： 从乘数的最低位开始到高位，如果遇到1，则把被乘数左移 i 位，进行累加，乘数循环结束后，的恶道的累加和就是结果。

　　科普： 2*4=8   其中 2 是被乘数，4是乘数 ，一般读作 2乘以4等于8 ，也可以读作2乘4等于8 。

　　代码1：

//方式1    
    public static int multiplicative (int a,int b){
　　　　  int i=0; 　　 //定义乘数的低位 （也就是一个数二进制形式的右边开始为低位）
        int res=0;    //累加的结果
        //当乘数为0则结束循环
        while(b!=0){
            //开始处理乘数的当前位从i=0开始,如果遇到1，则累加.
            if((b&1)==1){
                res+=(a<<i); //被乘数左移i位进行累加
                b=b>>1;      //b右移1位，也就是低位到高位的过程。
                i++;         //记录当前位是第几位
            }else{//如果没有遇到1，则乘数右移一位，不用要累加。
                b=b>>1;   
                 i++;
            }
        }
        return res;
    } 

　　代码2：

//方式二
    public static int mul(int a, int b){
        int ans = 0; //先定义累加的结果】
        while (b!=0) {//乘数为0则结束
            if ((b & 1)==1) { //如果该乘数&1等于1则对左移后的a进行累加，不等于1则不进行累加
                ans = add(ans, a); 
            }    
            //每次循环一次，a=a<<1 ,b=b>>1
            a <<= 1;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }

四：位运算除法

　　原理：也就是求a是由多少个b组成的，则我们只需求a能减去多少个b即可,做减法的次数就是除法的商。

　　代码1：

//方式一(递归)
    public static  int division1(int a,int b) {
        int res=-1;
        if(a<b){
            return 0;
        }else{
            res=division1(subduction(a, b), b)+1;  //a>b说明可以减去，则加一进行统计减去的次数
        }
        return res;
    }

　　代码2：

// 方式二 （仅计算正数除法）
      // 逆推法： 除法就是由乘法的过程逆推，依次减掉（如果a够减的）
      // b ^ (2 ^ 31), b ^ (2 ^ 30), ...b ^ 8, b ^ 4, b ^ 2, b^1。减掉相应数量的b就在结果加上相应的数量。（注意是b）

    public static int division(int a, int b) {
        int ans = 0;
        // 从最高位开始逆推（  第32位为符号位，所以从第31位开始）
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            // 比较a是否大于b的(1<<i)次方，要避免将a与(b<<i)比较，因为不确定b的(1<<i)次方是否溢出
            if ((a >> i)>=b) {   // 如果b小于a右移i位，说明足够减去b<<i位的值
                ans += (1 << i);  //累加，1左移i位的值
                a -= (b << i);      //减去一次b<<i的值，a不断减小，
            }
        }
        return ans;
    }