一、题目描述
描述：
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学不交换位置就能排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K，他们的身高分别为T1, T2, …, TK，则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K) 。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入：
第一行整数 N，表示同学的总数
第二行整数数组，空格隔开，表示 N 位同学身高
输出：
最少需要几位同学出列
样例输入：
8
186 186 150 200 160 130 197 200样例输出：
4二、最长递增子序列
最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是指找到一个给定序列的最长子序列的长度，使得子序列中的所有元素单调递增。
例如：{ 3，5，7，1，2，8 } 的 LIS 是 { 3，5，7，8 }，长度为 4。
解法一：转化为求最长公共子序列
其实可以把 求最长递增子序列问题 转化为 求最长公共子序列的问题。
- 设数组 { 3， 5， 7， 1， 2， 8 } 为 A
- 对数组 A 排序，排序后的数组为 B = { 1， 2， 3， 5， 7， 8 }。
- 于是，求数组 A 的最长递增子序列，就是求数组 A 与数组 B 的最长公共子序列。
最长公共子序列的求法见《动态规划DP》。本方法的时间复杂度是
解法二：动态规划法
虽然解法一也是使用动态规划，但是与解法一不同的是，解法二不进行转化，而是直接在原问题上采用动态规划法。
最优子结构：
对于长度为 N 的数组
也就是
重叠子问题：
根据上述推导式采用递归实现的话，有些子问题会被计算很多次。
动态规划法：
综上所述，LIS 问题具有动态规划需要的两个性质，可以使用动态规划求解该问题。设数组 A = { 3，5，7，1，2，8 }，则：
具体的打表方式如下：
- 初始化对角线为 1；
- 对每一个 i，遍历 j（0 到 i-1）：
- 若
A[i] <= A[j]，置 1。 - 若
A[i] > A[j]，取第 j 行的最大值加 1。
- 若
打完表以后，最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历，故时间复杂度还是
通常在实现的时候我们不会创建一整个表，因为这样太浪费空间。由打表的过程可知，我们只需要一个一维数组来保存每一行的最大值即可：
// LIS 的动态规划方式实现
#include <iostream>
using namespace std;
int getLISLength(int A[], int len)
{
/* 一维数组 */
int* lis = new int[len];
/* 初始化为1 */
for (int i = 0; i < len; ++i)
lis[i] = 1;
/* 计算每个i对应的lis最大值，即打表的过程 */
for (int i = 1; i < len; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1
if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]+1)
lis[i] = lis[j] + 1; // 更新
/* 数组中最大的那个，就是最长递增子序列的长度 */
int maxlis = 0;
for (int i = 0; i < len; ++i)
if ( maxlis < lis[i] )
maxlis = lis[i];
delete [] lis;
return maxlis;
}
int main()
{
int arr[] = {3, 5, 7, 1, 2, 8};
cout << getLISLength(arr, 6) << endl;
return 0;
}解法三：Θ(nlgn)的方案
本解法的具体操作如下：
- 开一个栈，依次读取数组元素 x 与栈顶元素 top：
- 如果 x > top，将 x 入栈；
- 如果 x < top，则二分查找栈中第一个 大于等于x 的数，并用 x 替换它。
遍历结束之后，最长递增序列长度即为栈的大小。
int getLISLength(int A[], int len)
{
vector<int> v; // 模拟栈
for(int i=0; i<len; ++i)
{
if(v.size()==0 || v.back()<A[i])
v.push_back(A[i]);
else // 二分查找
{
int mid, low=0, high=v.size()-1;
while(low<high)
{
mid = (low+high)/2;
if(v[mid] < A[i])
low = mid + 1;
else
high = mid - 1;
}
v[low] = A[i]; // 替换
}
}
return v.size();
}由于使用了二分搜索，故时间复杂度变成了
特别注意的是：本方法只能用于求最长递增子序列的长度，千万不要以为栈中的序列就是最长递增子序列：
例一：原序列为1，5，8，3，6，7
栈为1，5，8，此时读到3，用3替换5，得到1，3，8； 再读6，用6替换8，得到1，3，6；再读7，得到最终栈为1，3，6，7。最长递增子序列为长度4。例二：原序列为1，5，8，3
则最终栈为1，3，8。明显这不是最长递增子序列！
三、解题报告
根据题意可知，我们需要求出一个“中间点”，使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int len;
cin >> len;
int *A = new int[len];
for(int i=0; i<len; ++i)
cin >> A[i];
// lis[i]表示以A[i]为结尾的最长递增子序列的长度
int *lis = new int[len];
// lds[i]表示以A[i]为起点的最长递减子序列的长度
int *lds = new int[len];
for (int i = 0; i < len; ++i)
{
lis[i] = 1;
lds[i] = 1;
}
for(int i=1; i<len; ++i)
for(int j=0; j<i; ++j)
if(A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j]+1)
lis[i] = lis[j] + 1;
for(int i=len-2; i>=0; --i)
for(int j=len-1; j>i; --j)
if(A[i] > A[j] && lds[i] < lds[j]+1)
lds[i] = lds[j] + 1;
int maxl = 0;
for(int i=0; i<len; ++i)
if(maxl < lis[i]+lds[i])
maxl = lis[i] + lds[i];
cout << len - maxl + 1 << endl;
delete [] lis;
delete [] lds;
delete [] A;
return 0;
}