一道非常好的DP题。
题意简述：求长度为N的波动序列的数量。答案对P取模。
题解：
设 $ f[i][j] $ 表示：长度为 $ i $ ，第一个数字为 $ j $ ，且第一个数字大于第二个数字（第一位为峰）的方案数量。
最后答案为 $ sum_{i=1}^{n}f[i][n] $
首先有两个性质：①杨宇杰不举 ②杨宇杰不举
然后有两个性质：
①在一个波动序列中，如果有两个数 $ i $ 与 $ i+1 $ 不相邻，那么交换这两个数的位置，得到的序列仍然是波动序列。
例： $ 4 1 6 3 5 2 $ 中，4与5不相邻，交换位置后 $ 5 1 6 3 4 2 $ 仍然是一个波动序列
②将长度为 $ n $ 的波动序列中所有元素 $ i $ 变为 $ (n-i+1) $ ，得到的序列仍然是波动序列，且「峰」与「谷」的位置相反。
我们不妨定义这种转换为「反」。
例： $ 4 1 6 3 5 2 $ ，将其「反」，得到$ 3 6 1 4 2 5 $ 仍然为波动序列，且「峰」与「谷」的位置与 $ 4 1 6 3 5 2 $ 相反。
然后就可以推♂倒状态转移方程了。
设 $ f[i][j] $ 表示：长度为 $ i $ ，第一个数字为 $ j $ ，且第一个数字大于第二个数字（第一位为峰）的方案数量。
那么：我们假设有两种可能：
①第二个数字为 $ j-1 $ ：
由于第一位 $ j $ 为峰，那么第二位 $ j-1 $ 为谷，问题就变成了：
求「长度为 $ i-1 $ ，第一位为 $ j-1 $ ，且第一位为谷」 的方案数。
我们可以利用的东西： $ f[i-1][j-1] $ 表示「长度为 $ i-1 $ ，第一位为 $ j-1 $ ，且第一位为峰」的方案数。
然后就可以利用刚刚的第二个性质变换一下：
将「长度为 $ i-1 $ ，第一位为 $ j-1 $ ，第一位为谷」进行「反」操作，就会得到一个「长度为 $ i-1 $ ，第一位为 $ (i-1)-(j-1)+1 $ ，第一位为峰」的序列
化简一下：第一位为 $ i-j+1 $ ，第一位为峰。
为什么要求这个？因为这种状态的方案数等于「长度为 $ i-1 $ ，第一位为 $ j-1 $ ，且第一位为谷」 的方案数。
所以我们可以转移： $ f[i][j]+=f[i-1][i-j+1] $ .
现在考虑第二种可能：
②第二个数字不为 $ j-1 $ ：
利用第一个性质，可以得知 $ f[i][j-1]=f[i][j] $ .
也就是， $ j-1 $ 与 $ j $ 并不相邻，那么就可以换一下，方案数一样。
综上，得到方程为f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]
然后就可以推了，最后答案为 $ sum_{i=1}^{n}f[i][n] $
最好加滚动数组优化，否则可能会MLE.
代码：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,p,ans=0;
LL f[4205][4205];
int main(){
cin>>n>>p;
f[1][1]=1;
for(int i(2);i<=n;i++){
for(int j(1);j<=i;j++){
f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][i-1-(j-1)+1])%p;
}
}
for(int i(1);i<=n;i++)ans=(ans+f[n][i])%p;
printf("%lld",(ans*2)%p);
return 0;
}