一道算是数学题的题吧。本人调了一天。
题目大意：
给定一个直角坐标系，其中有一些点.
如果坐标系中的某个位置满足：
①该位置没有点
②其正上方，正下方，正左方，正右方均有不少于k个点,
那么就可以以该位置为中心，从四个方向中各任选k个点，组成一个十字架.
求：整个图上的十字架的数量。
注意图的大小1≤N, M≤1,000,000,000,且1的数量1≤W≤100,000,1≤k≤10;
题解：
首先可以发现:异常巨大的图,但点的数量并不多。
此时就需要将数据离散化.
比如我有以下一些点：
$ (1,2) ( ) (50,2) ( ) (1,999999) ( ) (8848,8848) $
那么就按照大小关系，将其离散化为
$ (1,1) ( ) (2,1) ( ) (1,3) ( ) (3,2) $
并不会产生影响。
然后将点排序以确保接下来的遍历顺序：以y为第一关键字，x为第二关键字排序所有的点。
这里我们考虑：对于一个位置，以其为中心产生的十字架的数量为 $ C(left,k)C(right,k)C(up,k)*C(down,k) $
其中left,right,up,down顾名思义，分别为该位置左，右，上，下点的数量。
如图：蓝点表示位置，绿点代表点。
我们考虑按照刚刚排的顺序枚举每个点（实际上是这个点与其左边的点形成的区间中）答案的数量。
可以发现，在同一行中，维护left和right是相对容易的：每到一个新的点，就将left+1，而right即为该行点的个数减去left.
一段区间之内，left和right是不变的，但up与down却不尽相同。
根据乘法分配律可以得到，该段中的答案即为 $ C(left,k)×C(right,k) $ ， 乘上该区间的 $ C(up,k)×C(down,k) $ 的和.
问题是如何快速得知某段区间内 $ C(up,k)*C(down,k) $ 的和.
我们发现，这个值只需要在每到一个新的点时，将该点对应y坐标的 $ C(up,k)×C(down,k) $ 的值改为 $ C(up-1,k)×C(down+1,k) $ 就可以了.
单点修改，区间查询，就可以用树状数组来维护.
具体实现：
维护一个数组cnt，cnt[x]用于记录横坐标为x的点已经被遍历过(在当前行下面)的数量.
每次遍历到一个点时：
设其坐标为 $ (x,y) $ .cnt[x]+1,将树状数组的第 $ x $ 位修改为 $ C(cnt[x][k]×C[total[x]-cnt[x]][k]) $
·如果该点是某一行的第一个点，直接continue到下一个点，因为不可能产生贡献。
否则：该区间（当前点和上个点形成的区间）内的十字架中心个数为：
$ C[left][k]×C[right][k]×sum(l,r) $ ，其中l，r分别为该区间的左，右界.