AOV网中： 无环有向图中， 顶点表示活动 边表示先后顺序。
AOE网中：带权有向图中， 顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间。
我们成为AOE网(Activity On Edge Network)
AOE网中没有入边的顶点表示源点或始点，没有出边的叫终点或汇点。
AOE网要建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上。
关键路径：我们把路径上各个活动持续时间之和称为路径长度，从源点到终点最大的长度为关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。
那么，显然对上图AOE网而言,所谓关键路径：
开始-->发动机完成-->部件集中到位-->组装完成。路径长度为5.5。我们只有在改变了关键路径的时间才有效。
AOE网表示工程流程图，具有工程特性，由于具有并行特性因此引入关键路径
1 只有在该顶点的事件发生后，从该顶点出发的活动才能进行。
2.只有进入到该顶点的所有活动完成后 该顶点事件才能执行。
对AOE网有待研究的问题是：
（1）完成整个工程至少需要多少时间？
（2）那些活动是影响工程进度的关键？
关键路径
- 在AOE网络中, 有些活动顺序进行，有些活动并行进行。
- 从源点到各个顶点，以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不同。完成不同路径的活动所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。
- 完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。
整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点的最长路径。
关键活动：该弧上的权值增加 将使有向图上的最长路径的长度增加。关键活动的最早开始时间 =关键活动的最迟开始时间 意思是中间没有空闲时间干别的事了。
（1）事件的最早发生时间etv(earliest time of vertex): 即顶点Vk的最早发生时间。
（2）事件的最晚发生时间ltv(latest time of vertex): 即顶点Vk的最晚发生时间。
也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期。
（3）活动的最早开工时间ete(earliest time of edge): 即弧ak的最早发生时间。
（4）活动的最晚开工时间lte(latest time of edge): 即弧ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。关键还是求etv跟ltv数组。
然后根据最早开工时间ete[k]和最晚开工时间lte[k]相等判断ak是否是关键路径。
与拓扑序列邻接表结构不同的地方在于，弧链表增加了weight域，用来存储弧的权值。
求事件的最早发生时间etv的过程，就是从头至尾找拓扑序列的过程。
因此，在求关键路径之前，先要调用一次拓扑序列算法的代码来计算etv和拓扑序列表。
数组etv存储事件最早发生时间
数组ltv存储事件最迟发生时间
全局栈用来保存拓扑序列
//依据AOV网 求Topo图 来求 事件的最早发生时间etv数组
bool TopoSort(Gadjlist G)
{
int count;//存储输出顶点的个数
int top = 0;
int* stack = new int[G.numV];//设立一个栈来存入度为0的数据
for(int i=0;i<G.numV;i++)
{
if(G->adjlist[i].in == 0)
{
stack[top++] = i;//入栈
}
}
int top2=0;//新加入的
int *etv=new int[G.numV];//事件最早发生时间
for(int i=0;i<G.numV;i++)
{
etv[i]=0;//初始化为0
}
stack2 = new int[G.numV];//初始化
while(top != 0)
{
int gettop = stack[--top];//出栈
stack2[top2++] = gettop;//新加入的 将弹出顶点序号压入拓扑序列栈中
cout++;//统计输出顶点个数
for(EdgeNode* e= G.adjlist[gettop].firstedge; e; e=e->next)
{
int k= e->adjvex;
if(! (--G.adjlist[k].in))//将K号顶点的邻接点入度-1；
{
stack[top++] = k;
}
if(etv[gettop]+e->weight > etv[k])//新加入的
{
etv[k]=etv[gettop]+e->weight;
}
}
}
delete [] stack;
if(cout<G.numV)
{
return false;//如果count＜顶点数则说明存在环
}
else
{
return true;
}
}
下面为关键路径算法代码
void CriticalPath(Gadjlist G)
{
TopoSort(G);//求的事件最早发生时间 etv和stack2
int* ltv = new int [G.numV];//事件最晚发生时间
for(int i=0;i<G.numV;i++)
{
ltv[i]=etv[G.numV-1];//初始化事件最晚发生时间ltv，初始化为最大值
}
while(top2!=0)//top2是在TopoSort函数中求的的 所有点数=G.numV
{
int gettop = stack[--top2];//拓扑序列出栈 后进先出
for(EdgeNode* e=G.adjlist[gettop].firstedge;e;e=e->next)
{
int k=e->adjvex;
if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
{
ltv[gettop] = ltv[k]-e->weight;
}
}
}//经过while循环求出每顶点最晚发生时间
for(int j=0;j<G.numV;j++)
{
for(EdgeNode* e=G.adjlist[j].firstedge;e;e=e->next)
{
int k= e->adjvex;
int ete = etv[j];//活动最早时间
int lte = ltv[k]-e->weight;//活动最晚时间
if(ete == lte)
{
cout<<"<"<<cout<<G.adjlist[j].data<<cout<<","<<
G.adjlist[k].data<<">"<<cout<<e->weight<<endl;;
}
}
}
}
比如etv[1]=3而ltv[1]=7表示（如果单位按天计的话）:
哪怕V1这个事件在第7天才开始也是可以保证整个工程按期完成。
你也可以提前V1时间开始，但是最早也只能在第3天开始。