最短路径-弗洛伊德(Floyd)算法

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

弗洛伊德(Floyd)算法 是解决任意两点间的最短路径的一种算法  

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

    从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

为了能讲明白弗洛伊德算法的精妙所在，我们先来看最简单的案例：

  

弗洛伊德算法

D1[0][2] = min{D0[0][2], D0[0][1]+D[1][2]}

弗洛伊德算法原理

弗洛伊德算法

floyd

floyd

这是我们求V0到个点的距离则看V0对应的一行或者一列就好了此时为 {0.1.4.7.5.8.10.12.16} 此为距离值

求路径是 看V0->V8 第一行为P[0][8]=1 用到V1

看V1->V8 第一行为P[1][8]=2 用到V2

看V2->V8 第一行为P[2][8]=4 用到V4

看V4->V8 第一行为P[4][8]=3 用到V3

看V3->V8 第一行为P[3][8]=6 用到V6

看V6->V8 第一行为P[6][8]=7 用到V7

看V7->V8 第一行为P[7][8]=8 用到V8

路径为V0->V1->V2->V4->V3->V6->V7->V8

typedef struct  
{  
    char vers[numV];//顶点表  
    int edges[numV][numV]；//邻接矩阵  
    int v,e;//看作是当前的顶点和边数  
}MGraph;  
  
void Floyd(MGraph G)  
{  
    int A[G.v][G.v];//初始化 刚刚开始为邻接矩阵的copy 最终是我们要的结果  
    int path[G.v][G.v];  
    for(int i=0;i<G.v;i++)初始化  
    {  
        for(int j=0;j<G.v;j++)  
        {  
            A[i][j] = G.edges[i][j];  
            path[i][j] =j;  
        }  
    }  
    for(int k=0; k<G.v; k++)  
    {  
        for(int i=0;i<G.v;i++)  
        {  
            for(int j=0;j<G.v;j++)  
            {  
                if(A[i][j] > (A[i][k]+A[k][j]))//如果经过K点的路径比原来两点见路径更短  
                {  
                    A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];  
                    path[i][j] = k;  
                }  
            }  
        }  
    }  
}  
//求最短路径的显示代码可以这样写  
void printWay(MGraph G, int* A， int* path)  
{  
    for(int i=0;i<G.numV;i++)  
    {  
        for(int j=i+1;j<G.numV;j++)  
        {  
            cout<<"v"<<i<<"-"<<"v"<<j<<"weight:"<<A[i][j];  
            int k=path[i][j];  
            cout<<"path:"<<i;//打印出源点  
            while(k != j)  
            {  
                cout<<"->"<<k;//打印路径顶点  
                k = path[k][j];//获得下一个路径的顶点下标  
            }  
            cout<<"->"<<j;//打印终点  
        }  
        cout<<endl;  
    }  
}