第三讲主要是讲divide-and-conquer, 与上一讲结合的很紧密，因为分治法几乎都是递归啦，求复杂度必备啊！
这一讲的主要知识点有：
1.分治法主要步骤 （后面就全是分治法的应用了）2.二分搜索 3.快速求幂 4.快速求斐波那契数列 5.矩阵连乘(Strassen's algorithm) 下面分别来介绍
分治法的主要步骤： 分为三步。
1. 将问题分解成子问题
2.递归的去解决这些子问题
3. 合并这些子问题
举前面的归并排序来说，这是非常典型的分治法。
1.Divide:Trivial.
2.Conquer:Recursively sort 2subarrays.
3.Combine:Linear-time merge
复杂度：T(n)=2T(n/2)+Θ(n) 分析：2-子问题个数 n/2-子问题规模 Θ(n)-合并以及其他处理
二分搜索：
Find an element in a sorted array:
1.Divide:Check middle element.
2.Conquer:Recursively search 1subarray.
3.Combine:Trivial.
对二分查找的分析：T(n) = T(n/2)+Θ(1): 由主定理 case2 可以得到复杂度T(n)=Θ(logn)
快速求幂：Compute an, where n ∈N.
一般解法当然就是做n次乘法，复杂度是Θ(n).
用分治法来处理，将其分成n/2的规模来递归解决，其方案是：
an=an/2 ⋅an/2 if n is even;
a(n–1)/2 ⋅a(n–1)/2 ⋅a if n is odd.
分成这两种情况来解决，注意 因为乘法的两边都是相同的数，所以只用计算一次，故他的复杂度是： T(n)=T(n/2)+Θ(1) 即 T(n)=Θ(logn)
快速求斐波那契数列：这个数列是非常重要的数列，给出他的定义
如果按照这个递归式去解这个问题，复杂度将是：Ω(Kn) (即指数时间)，其中K=(1+sqr(5))/2;这是非常高的一个复杂度。
还可以按照自底向上的步骤：按顺序计算F0,F1,F2,...Fn。由于之前那个递归式需要处理大量重复的子式，而现在不用了，其复杂度是Θ(n）。
或者用一个一般式来求，即Fn=Kn/sqr(5) 且四舍五入到最近整数。这种算法的就是计算一个数的n次方，最快也可以达到Θ(log n）。但是这个方法不可靠！因为计算机的浮点运算可能会导致错误的四舍五入结果！
然后这里引入了一个非常神奇的定理：
用这个定理去求斐波那契数列的第n项就不用涉及到浮点运算了，而且这是n个2*2矩阵乘法，其复杂度同数的n次幂，所以复杂度是Θ(log n)
这个定理的证明可以使用数学归纳法，很容易证明。
矩阵乘法（strassen's 公式）
一般的，求矩阵乘法的运算是：
使用伪代码表示为：
for i=1 to n
do for j=1 to n
do cij = 0
for k=1 to n
do cij = cij + aik * bkj
由此也可以得到复杂度是 Θ(n3)
我们想使用分治法的思想去解决矩阵乘法问题，所以首先将n*n的矩阵分开，分成4块。
根据矩阵运算规则，我们也知道我们将n*n矩阵运算，分解成了8个(n/2)*(n/2)的乘法，以及4个两个同样的小矩阵的加法(矩阵加法的复杂度是那n2)
可以得到新的复杂度是： T(n) = 8T(n/2) + Θ(n2)
这个递推式可以根据主定理的case 1，得出复杂度仍然是 Θ(n3)
由此我们给出Strassen's idea: 其主要思想是加法的复杂度是n2,乘法的复杂度是n3,所以尽量减少乘法，增加加法的个数。最后搞了一个7个乘法的表达式。
T(n) = 7T(n/2) + Θ(n2)。 T(n) = Θ(nlg7) 降低了复杂度
最后附上这章的自己写的算法代码：
1 /////////////////////////CLRS video lec3 二分搜索///////////////////////////////////////////////// 2 //二分搜索是针对已排序序列的哦！O(lg n)的复杂度 ///////////////////////////////////////////////////// 3 4 5 #include<iostream> 6 using namespace std; 7 8 int main() 9 { 10 int arr[10] ={1,4,5,7,9,10,15,19,29,35}; 11 int find,flag=1,middle; 12 cin>>find; 13 int a=0,b=9; // a,b 是左右的边界，在这个范围内搜索 14 while(a<b) //这个判结束的条件很重要！！ 15 { 16 middle = (a+b)/2; 17 if(arr[middle]>find) 18 b=middle-1; 19 else if(arr[middle]<find) 20 a=middle+1; 21 else{ 22 cout<<middle<<endl; 23 break; 24 } 25 } 26 return 0; 27 }
1 /////////////////////////CLRS video lec3 快速求幂///////////////////////////////////////////////// 2 //O(lg n)的复杂度 ///////////////////////////////////////////////////// 3 4 5 #include<iostream> 6 using namespace std; 7 8 long mypower(int a,int n) 9 { 10 if(n==1) return a; 11 else{ 12 long result; 13 if(n%2==0){ 14 result = mypower(a,n/2); 15 return result*result; 16 } 17 if(n%2==1){ 18 result = mypower(a,(n-1)/2); 19 return result*result*a; 20 } 21 } 22 } 23 24 int main() 25 { 26 int a=6,n; 27 cin>>n; 28 long result = mypower(a,n); 29 cout<<result<<endl; 30 }