bzoj1041题解

【解题思路】

　　先只考虑第一象限与x轴正半轴，则x>0,y≥0，x²+y²=r²<=>x²=r²-y²=(r+y)(r-y)

　　设A=r+y,B=r-y，原式即：x²=AB。

　　设g=(A,B)，则设a=A/g，b=B/g，显然(a,b)=1。

　　于是原式即：x²=abg²，又(a,b)=1，则a,b均为完全平方数。

　　又A+B=g(a+b)=2r，则g必为2r的因数。

　　由此，我们可以枚举2r的因数g，对于每个g，我们不妨假定a<b，枚举√a∈[1,√(g/2)]统计即可。

　　然后推广到整个平面就是第一象限的统计量乘4。复杂度o(d(r)√(r)log₂r)。

【参考代码】

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define REP(I,start,end) for(int I=start;I<=end;I++)
#define sqr(n) n*n
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{
    if(x%y==0)
        return y;
    return gcd(y,x%y);
}
inline long long work(int i)
{
    long long result=0ll;
    REP(j,1,sqrt(i>>1))
    {
        int B=i-sqr(j),k=sqrt(B);
        result+=sqr(k)==B&&gcd(j,k)==1;
    }
    return result;
}
long long r;
int main()
{
    scanf("%lld",&r);
    r<<=1;
    long long ans=0ll;
    REP(i,1,sqrt(r))
        if(r%i==0)
        {
            ans+=work(i);
            ans+=work(r/i);
        }
    printf("%lld
",ans<<2);
    return 0;
}