P1516 青蛙的约会

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入输出格式

输入格式：

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L

其中0<x≠y < =2000000000，0 < m、n < =2000000000，0 < L < =2100000000。

输出格式：

输出碰面所需要的天数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 2 3 4 5

输出样例#1： 复制

4

题目来源：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1516

程序与解析：

// ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx0+(a-a/b*b)y0= ay0+b(x0-a/b)y0
//根据恒等定理 x=y0,y=x0-a/b
//ax+by=c，使用exgcd时尽量把系数做成正的 
// 假设跳了x步，y圈，则有xm-xn=y0-x0+yl
//即(m-n)x-yl=y0-x0;
// 根据ax+by=c，则a=m-n,b=l,c=y0-x0(y=-y,因为y不是所求，正负没有关系) 
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long  x0,y0,m,n,l;
long long a,b,c,g,x,y;
void exgcd(long long a,long long b){
    if(b==0){
        g=a;
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long  z=x;
    x=y;
    y=z-a/b*y;     
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d",&x0,&y0,&m,&n,&l);
    a=m-n,b=l,c=y0-x0;
    if(m<n){//保证a是正数 ，此时ax+by=c各乘-1，因为y不是所求，不管b 
        a=n-m;
        c=-c;
    }
    exgcd(a,b);
    if(c%g!=0)cout<<"Impossible";
    else{
        x=x*c/g;//ax+by=c 与 ax+by=gcd(a,b)的关系 
        long long t=b/g;//符合ax+by的解x的公差是b/g. 
        //cout<<g<<" "<<t<<endl;
        x=(x%t+t)%t;//保证解x是正数。 
        printf("%d
",x);
    }
    return 0;
}

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