质数及线性筛

质数与线性筛

本文将详细将接OI中对于质数的筛法

---

1.基本筛法

对于一个合数 N ，一定存在一个能够整除 N 的数介于 2 - sqrt{N} 。

正确性显然，只需反证即可。
所以只需要对 2 - sqrt{N} 的数扫一遍即可

bool  simple( int  a ){
	for( int  i = 2 ; i <= sqrt(a) ; i++ )
		if( a % i == 0 ) return false ;
	return true ;
}

---

2. Eratosthenes筛法

这个筛法是我在初学时经常使用的，原因是既方便又好写，对于 部分水题 或者 不是以筛质数为主要目的题 的可以快速写完。
其原理大致如下

筛法执行过程
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  ...
T   F   F   F   F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  ...
T T F   F   F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  ...
T T F T F   F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  ...
T T F T F T F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11  ...
T T F T F T F F F  T

我们对于从2开始的每一个数，先进行扫描，如果没有 False 标记，则表明这个数之前的所有数都无法整除它，将其加入质数表，并将其倍数都打上 False 标记 。
先上代码

int  num ,  tot , d[ maxn ] ;
bool used[ maxn ] ;

void  Eratosthenes(){
	for( int  i = 2 ; i <= num ; i++ ){
		if( !used[ i ] ){
			tot++ ;
			d[ tot ] = i ;
			for( int  j = i ; j <= num/i ; j++ )
				used[ i*j ] = true ;
		}
	}
}

int  main(){
	scanf("%d",&num);
	Eratosthenes();
	for( int  i = 1 ; i <= tot ; i ++ )
		printf("%d ", d[ i ] ) ;
	return 0 ;
}

埃氏筛的复杂度接近线性，达到了 N（N log_N log_N ）。但是埃氏筛对部分有多个因数的数进行了多次删除，以至于可能被卡掉。所以我们有了优化后的线性筛法。

---

3.线性筛法

既然有部分数会被多个质因子筛重复筛，那么，我们只需要让每个合数只被它的最小质因子筛一次即可。
在这里给出具体的思路和代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int  used[ maxn ] , p[ maxn ] , num , tot = 0 ;//  p[ ]数组用来存筛出的质数

void  Primefactor(){
	for( int  i = 2 ; i <= num ; i++ ){
		if( used[ i ] == 0 ){
			tot++ ;
			used[ i ] = i ; p[ tot ] = i ;
		}
		for( int  j = 1 ; j<= tot ; j++ ){
			if( p[ j ] > used[ i ] || p[ j ] > num/i )break ;//不要忽视边界问题
			used[ i * p[ j ] ] = p[ j ] ;  // 判定
		}
	}
}

int  main(){
	scanf( "%d",&num );
	Primefactor() ;
	for( int  i = 1 ; i <= tot ; i ++ )printf( "%d ",p[ i ] ) ;
	return 0 ;
}