POJ 1160 Post Office

 POJ_1160

    我们可以用f[i][j]表示建好i个邮局时覆盖到第j个村庄的最优解，那么就可以得到f[i][j]=min{f[i-1][k]+w[k+1][j]}(k<j)，其中w[x][y]表示建一个邮局覆盖x到y的村庄的距离和，w[x][y]可以事先预处理出来。

    这个题目还可以用四边形不等式去优化，实际上四边形不等式优化难点不在于应用，只是在K[i][j-1]<=k<=K[i+1][j]中去选择更新f[i][j]的k即可，比较复杂的部分就在于对k可以这样选择做出证明。

    一般四边形不等式的证明步骤如下：

    ①证明w为凸，这一步用黑书上的定理w为凸当且仅当w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i][j+1]+w[i+1][j]，这样只要说明w[i+1][j]-w[i][j]是关于j单调递减的即可。

    ②证明f为凸，这一步要利用①中的定理去证f[i][j]+f[i+1][j+1]<=f[i][j+1]+f[i+1][j]，而证明的方法通常是利用w为凸的结论，先假设f[i][j+1]取得最优解是k为x，f[i+1][j]取得最优解时f[i+1][j]为y，然后分x<y和y<x两种情况，将f[i][j]和f[i+1][j+1]各按k=x或k=y拆开之后，将拆出的w应用四边形不等式，再将各项合并成f[i][j+1]+f[i+1][j]从而完成证明。

    ③证明K[i][j-1]<=K[i][j]<=K[i+1][j]，证明K[i][j-1]<=K[i][j]时，要先假设f[i][j-1]取得最优解时k=y，然后利用x<=y<=j-1<j列一个四边形不等式，然后在不等式两边添加一定的项试图得到f[i][j-1](k=x)+f[i][j](k=y)<=f[i][j-1](k=y)+f[i][j](k=x)，也就是f[i][j-1](k=x)-f[i][j-1](k=y)<= f[i][j](k=x)-f[i][j](k=y)，这时我们就会发现因为f[i][j-1](k=y)<=f[i][j-1](k=x)，那么一定有f[i][j](k=y)<=f[i][j](k=x)，也就是说对于所有小于y的x，都会有f[i][j-1](k=y)<=f[i][j-1](k=x)，那么也都会有f[i][j](k=y)<=f[i][j](k=x)，因此令f[i][j]取得最优解的k一定不小于y，这样就完成了对K[i][j-1]<=K[i][j]的证明。对于K[i][j]<=K[i+1][j]的证明是类似的。

//O(P*V^2)
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXD 310
#define MAXP 40
int N, P, f[MAXP][MAXD], w[MAXD][MAXD], a[MAXD];
void init()
{
    int i, j, k;
    for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        w[i][i] = 0;
    }
    for(k = 1; k < N; k ++)
        for(i = 1; (j = i + k) <= N; i ++)
            w[i][j] = w[i][j - 1] + a[j] - a[(i + j) / 2];
}
void solve()
{
    int i, j, k;
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for(i = 1; i <= P; i ++)
        for(j = i; j <= N; j ++)
            for(k = i - 1; k < j; k ++)
                if(f[i - 1][k] + w[k + 1][j] < f[i][j])
                    f[i][j] = f[i - 1][k] + w[k + 1][j];
    printf("%d\n", f[P][N]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &N, &P) == 2)
    {
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}

//四边形不等式优化dp
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXD 310
#define MAXP 40
#define INF 0x3f3f3f3f
int N, P, f[MAXD][MAXD], A[MAXD], a[MAXD], K[MAXD][MAXD];
void init()
{
    int i, j, k;
    A[0] = 0;
    for(i = 1; i <= N; i ++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        A[i] = A[i - 1] + a[i];
    }
}
int getw(int x, int y)
{
    int t = (x + y) / 2;
    return A[y] - A[t] - (y - t) * a[t] + (t - x) * a[t] - (A[t - 1] - A[x - 1]);
}
void solve()
{
    int i, j, k, p, t;
    for(i = 0; i <= N; i ++)
    {
        f[i][i] = 0;
        K[i][i] = i;
    }
    for(p = 1; p <= N - P; p ++)
    {
        for(i = 0; (j = i + p) <= N; i ++)
            f[i][j] = INF;
        for(i = 1; (j = i + p) <= N; i ++)
        {
            for(k = K[i][j - 1]; k <= K[i + 1][j]; k ++)
                if((t = f[i - 1][k - 1] + getw(k, j)) < f[i][j])
                {
                    f[i][j] = t;
                    K[i][j] = k;
                }
        }
    }
    printf("%d\n", f[P][N]);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &N, &P) == 2)
    {
        init();
        solve();
    }
    return 0;
}