UVA_12297
在研究了好一阵子标程之后终于把标程的解体思路弄懂了，其实关键之处就在于标程给出的递推式：f(n, k) = f(n-k, k) + f(n-k, k-1) * 4 + f(n-k, k-2) * 6 + f(n-k, k-3) * 4 + f(n-k, k-4)。
这里f(n, k)表示用k张牌组成和为N的方案数，在递推的时候考虑一共有多少张1。①考虑有0张1：这时就相当于用k张没有任何限制的牌组成和为n-k，然后将每张牌的点数+1，这样自然就没有1了，这部分的方案数是f(n-k, k)；②考虑有1张1：这时就相当于用k-1张没有任何限制的牌组成和为n-k，然后将每张牌的点数+1，这样也就没有1了，这时总和是n-1，再从4张1种任选一张1就可以使总和为n，这样就恰好用了k张牌，而且k张牌中只有1个1，这部分的方案数是f(n-k, k-1) * C(4,1)，也就是f(n-k, k-1) * 4；③考虑有2张1：……（剩下的情况类似，就不再赘述了）。
有了这个递推式后就会发现是可以用矩阵加速运算了，由于那个矩阵确实有点大，就不再贴图了，在纸上画一画之后还是不难构造出来的。
此外还有一种解法，但是始终没看懂什么意思，如果各位仁兄看懂了的话还望教小弟一下，链接：http://hi.baidu.com/wjbzbmr/blog/item/88c8b93aed71fb38b9998f45.html。
View Code (标程)
#include <set> #include <map> #include <list> #include <cmath> #include <ctime> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <cctype> #include <cstdio> #include <string> #include <vector> #include <cassert> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <sstream> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long i64; const int MOD = 1000000009; const int NN = 256; // recurrence: f(n, k) = f(n-k, k) + f(n-k, k-1) * 4 + f(n-k, k-2) * 6 + f(n-k, k-3) * 4 + f(n-k, k-4) int n, k, N, pos[18][18];; int base[NN][NN], res[NN][NN], temp[NN][NN]; int multiply( int A[NN][NN], int B[NN][NN], int C[NN][NN] ) { for( int i = 0; i < N; i++ ) for( int j = 0; j < N; j++ ) { temp[i][j] = 0; for( int k = 0; k < N; k++ ) if( A[i][k] && B[k][j] ) temp[i][j] = ( temp[i][j] + A[i][k] * (i64)B[k][j] ) % MOD; } for( int i = 0; i < N; i++ ) for( int j = 0; j < N; j++ ) C[i][j] = temp[i][j]; } void buildBase() { for( int i = 0; i < N; i++ ) { for( int j = 0; j < N; j++ ) base[i][j] = res[i][j] = 0; res[i][i] = 1; } // build base int x = 0; for( int j = k; j >= 1; j-- ) for( int i = k + 1; i > 1; i-- ) { if( pos[i][j] == -1 ) { int p = i - j, q = j; if( p >= 1 ) { assert( pos[p][q] > -1 ); base[x][ pos[p][q] ] = 1; q--; if( q > 0 ) { assert( pos[p][q] > -1 ); base[x][ pos[p][q] ] = 4; q--; if( q > 0 ) { assert( pos[p][q] > -1 ); base[x][ pos[p][q] ] = 6; q--; if( q > 0 ) { assert( pos[p][q] > -1 ); base[x][ pos[p][q] ] = 4; q--; if( q > 0 ) { assert( pos[p][q] > -1 ); base[x][ pos[p][q] ] = 1; } } } } } } else base[x][ pos[i][j] ] = 1; x++; } } int solve() { int dp[20][17] = {0}; dp[0][0] = 1; for( int i = 1; i < 20; i++ ) { for( int j = 1; j <= k; j++ ) { int p = i - j, q = j; if( p >= 0 && q >= 0 ) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[p][q]) % MOD; q--; if( p >= 0 && q >= 0 ) dp[i][j] = (dp[i][j] + 4 * (i64) dp[p][q]) % MOD; q--; if( p >= 0 && q >= 0 ) dp[i][j] = (dp[i][j] + 6 * (i64) dp[p][q]) % MOD; q--; if( p >= 0 && q >= 0 ) dp[i][j] = (dp[i][j] + 4 * (i64) dp[p][q]) % MOD; q--; if( p >= 0 && q >= 0 ) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[p][q]) % MOD; } } if( n < 20 ) { int r = 0; for( int i = 1; i <= k; i++ ) r = ( r + dp[n][i] ) % MOD; return r; } int f[NN] = {0}, f1[NN] = {0}; N = 0; memset( pos, -1, sizeof(pos) ); for( int i = k; i >= 1; i-- ) for( int j = k; j >= 1; j-- ) { f[N] = dp[j][i]; pos[j][i] = N++; } buildBase(); int p = n - k; while( p ) { if( p & 1 ) multiply( res, base, res ); multiply( base, base, base ); p >>= 1; } for( int i = 0; i < N; i++ ) for( int k = 0; k < N; k++ ) if( f[k] && res[i][k] ) f1[i] = (f1[i] + res[i][k] * (i64)f[k]) % MOD; int r = 0; for( int i = 0; i < N; i += k ) r = ( r + f1[i] ) % MOD; return r; } int main() { double cl = clock(); while( scanf("%d %d", &n, &k) == 2 && n ) { printf("%d\n", solve()); } cl = clock() - cl; fprintf(stderr, "Total Execution Time = %lf seconds\n", cl / CLOCKS_PER_SEC); return 0; }
View Code (My code)
#include<stdio.h> #include<string.h> #define MAXD 120 #define MOD 1000000009 typedef long long LL; int temp[MAXD][MAXD], f[15][15], N, K; int n; const int d[] = {1, 4, 6, 4, 1}; struct matrix { int a[MAXD][MAXD]; void init(int x) { for(int i = 0; i < n; i ++) for(int j = 0; j < n; j ++) a[i][j] = x; } matrix operator * (const matrix &t) const { matrix ans; ans.init(0); for(int i = 0; i < n; i ++) for(int k = 0; k < n; k ++) if(a[i][k]) { for(int j = 0; j < n; j ++) if(t.a[k][j]) ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + (LL)a[i][k] * t.a[k][j]) % MOD; } return ans; } }mat, unit; void prepare() { memset(f[0], 0, sizeof(f[0])); f[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= 10; i ++) for(int j = 1; j <= 10; j ++) { f[i][j] = 0; if(i >= j) { for(int k = 0; k < 5 && j - k >= 0; k ++) f[i][j] = (f[i][j] + (LL)d[k] * f[i - j][j - k]) % MOD; } } } void build() { n = K * (K + 1); mat.init(0); for(int i = 0; i < K; i ++) for(int j = 0; j <= K; j ++) mat.a[i * (K + 1) + j][0] = f[K - 1 - i][j]; unit.init(0); for(int j = 1; j <= K; j ++) { for(int k = 0; k < 5 && j - k >= 0; k ++) unit.a[j][(j - 1) * (K + 1) + j - k] = d[k]; } for(int i = 1; i < K; i ++) for(int j = 0; j <= K; j ++) unit.a[i * (K + 1) + j][(i - 1) * (K + 1) + j] = 1; } void powmod(int n) { while(n) { if(n & 1) mat = unit * mat; n >>= 1, unit = unit * unit; } } void solve() { if(N <= 10) { int ans = 0; for(int i = 1; i <= K; i ++) ans = (ans + f[N][i]) % MOD; printf("%d\n", ans); return ; } build(); powmod(N - K + 1); int ans = 0; for(int i = 1; i <= K; i ++) ans = (ans + mat.a[i][0]) % MOD; printf("%d\n", ans); } int main() { prepare(); while(scanf("%d%d", &N, &K) == 2, N || K) solve(); return 0; }