卡特兰数是组合数学 常见的数列
主要有4种形式：
1: h(n)= C 2n n /(n+1)
2: h(n)= C 2n n - C 2n n-1
3: h(n)= h(n-1)*(4*n-2) /(n+1)
4: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)
相当多的问题，虽然表面上看起来很不一样，但结果都是卡特兰数。
HDU1023 train problem 2 讲火车 按编号1 2 3 。。。n 的顺序进站， 出站的序列数目有多少种？
百度百科的解释两种，1：设k是最后出站的，那么编号小于k的 在k之前出站 ， 编号大于k的 在k之前出站，两种情况互不干涉，符合乘法原理；设h（n）表示n列火车出站的序列种类数目，第k个出站的可能数目是：h（k-1）*h（n-k），h（n）就是对它的求和。
第二种解释：n列火车，每列火车有两种选择，进站和出站，共有2n次操作，设进站为0，出站为1，可以用长度为2n的序列表示一种进出站方式。100100100100 ；序列中有n个1，n个0，根据问题知，想要出站，站内必须有火车，从左到右，0的数目>=1的数。 不符合要求的情况：从左到右，长2m的序列满足要求，且m个1，m个0，第2m+1个数是1。
如果长为2n的二进制序列由n+1个1和n-1个0组成那么它一定是符合上面^要求，同样，依上述要求，将2m+1以后的0和1互换，则恰好构成n+1个1和n-1个0构成的序列。二者一一对应。数目是C2n n-1
是2式。
卡特兰数前几项：
h(1)=1;h(2)=2;h(3)=5;h(4)=14;h(5)=42;h(10)=16796;h(20)=6564120420;
编程实现需要用高精度乘除法；实际上就是多项式乘除法。
//four expression :
/*
1: h(n)= C 2n n /(n+1)
2: h(n)= C 2n n - C 2n n-1
3: h(n)= h(n-1)*(4*n-2) /(n+1)
4: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int MOD=100000;
int kate[maxn][maxn];
void init()
{
kate[0][0]=1;
kate[1][0]=1;
kate[2][0]=2;
for(int i=3;i<maxn;i++)
{
/******************
multi
*/
for(int j=0;j<maxn;j++)
kate[i][j]=kate[i-1][j]*(4*i-2);
for(int j=0;j<maxn-1;j++)
{
kate[i][j+1]+=kate[i][j]/MOD;
kate[i][j]%=MOD;
}
int tmp=0;
//***************************
// division
for(int j=maxn-1;j>=0;j--)
{
tmp=kate[i][j]+tmp*MOD;
kate[i][j]=tmp/(i+1);
tmp=tmp%(i+1);
}
}
}
int main()
{
init();
int n;
while(cin>>n)
{
int i;
for(i=maxn-1;i>=0&&!kate[n][i];i--);
printf("%d",kate[n][i]);
for(i=i-1;i>=0;i-- )
printf("%05d",kate[n][i]);
printf("
");
}
return 0;
}
相关问题：二叉树的异构体数目
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这里对卡特兰数的其他应用做了解释。
其中这点写的有启发：分治法
卡特兰数的递推公式是：
C（0）=1；C（1）=1；
C(n)=C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + …… + C(n-1)C(0);
其实序列类场景也是可以用这种一般性方法求解的，大家有没有发现，无论是上面的排队问题，多边形分割问题，还是路径规划问题，它们都有一个共同点，就是初始状态一定是确定的，也就说，序列第一项是固定的，那么剩下的n-1项就可以用分治的思路分割成两个子序列去解决就可以了。抽象点概括下，就是对于问题A，规模为n，要解决这个问题，可以用分治的思想，首先固定其中某一个元素，将剩下的n-1个元素拆分成两个小问题，这两个小问题的规模分别是(0,n-1) (1,n-2) (2,n-3) … (n-1,0)。
卡特兰数表现了一种符合乘法原理事件的本性，某种程度上，反映了我们思考问题的方式，故而能够在许多场合得到应用。