欧拉函数学习

定义

所有小于n的与n互质的数的个数被称为欧拉函数，记作φ（n）

通式

$φ(x)=x(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)(1-1/p_4)…..(1-1/p_n)$

p是x的质因子

可以这样理解：

如果一个数与x互质

那么这个数一定不是x任何一个质因子的倍数

而对x=p1^a1* p2^a2 * ……*pn^an

是$p_1$倍数的数占x的$frac{1}{p_1}$

而不是的数占x的$1-frac{1}{p_1}$

$p_2$同理，不是$p_2$的倍数的数占x的$1-frac{1}{p_2}$

所以说不是x的任意一个质因子的倍数的数有$φ(x)=x(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)(1-1/p_4)…..(1-1/p_n)$个

性质

1：对于一个质数x，φ(x)=x-1；

这是显然的吧，如果x是质数那么所有小于它的数都与它互质

2：对于一个数x，1~x中与其互质的数的和为$x*φ(x)/2$

证明：
考虑到求gcd的更相损减$gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$

所以所有和x不互质的数都是$（a,x-a）$（上面gcd式子第二项）这样成对出现

而平均值为$x/2$，所以所以和x互质的数的平均值也是n/2，而总共有φ(x)个，所以和为$x*φ(x)/2$

3：若a，b互质，则$φ(a*b)=φ(a)*φ(b)$（φ为积性函数）

证明：

考虑到a,b,互质，也就是说a，b没有相同的质因子

若设
$φ(a)=(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)(1-1/p_4)…..(1-1/p_n)$
$φ(b)=(1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)(1-1/p_4)…..(1-1/p_m)$(两个p不同，指各自数的质因子)

因为a，b的质因子没有相同的

则根据φ的通式，$φ(a*b)=（a*b）*（1-1/p_1)(1-1/p_2)(1-1/p_3)(1-1/p_4)…..(1-1/p_(n+m))=φ(a)*φ(b)$

4：设$n=p^k$(p为质数) ,则$φ(n)=p^k-p^{k-1}$

证明：因为p为质数，所以n只有p一个质因子

根据公式$φ(n)=n*(1-frac{1}{p})=p^k*(1-frac{1}{p})=p^k-p^{k-1}$

5：若$p|n,p^2|n$，则$φ(n)=φ(n/p)*p$

证明：因为$p|n,p^2|n$，所以$n,n/p$有相同的质因子，只是系数不同而已,把φ(n)和φ(n/p)按照欧拉函数通式写出来，相除商为p，移项后就为原等式

6：若$p|n且p^2! | n$,则φ(n)=φ(n/p)*（p-1）

证明：类似与5可得$n,n/p$互质，由性质3可得φ(n)=φ(n/p)*φ(p）

因为p为质数，所以φ§=p-1，所以得证

7:$Σ_{d|n}φ(d)=n$

我也不太会证明，以后有时间再回来补吧

大概就是这些了

关于欧拉筛

$O（nlogn）$

根据欧拉函数的通式

考虑到一个数只会被其质因子更新，所以我们用类似埃式筛，在筛质数的时候改成更新质数的所有倍数的欧拉函数

模板：（以BZOJ2190仪仗队为例）

inline void init(){
 for(int i=1;i<=50000;i++)phi[i]=i;
 for(int i=2;i<=50000;i++)
  if(phi[i]==i)
   for(int j=i;j<=50000;j+=i)
    phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}

O（n）：

感觉和欧拉筛质数很类似

然后利用欧拉函数的性质（5、6）计算

inline void init(){
 phi[1]=1;
 for(int i=2;i<=50000;i++){
  if(!vis[i]){
   pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
  }
  for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=50000;j++){
   vis[pri[j]*i]=1;
   if(i%pri[j]==0){
    phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;
   }
   else phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
  }
 }
}