最短路最基本算法———Floyd算法

关于floyd算法

1. 算法简介
2. 实现思想
3. 核心代码
4. 后记

一、floyd简介
引自百度百科

在计算机科学中，Floyd-Warshall算法是一种在具有正或负边缘权重（但没有负周期）的加权图中找到最短路径的算法。算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径的长度（加权）。 虽然它不返回路径本身的细节，但是可以通过对算法的简单修改来重建路径。 该算法的版本也可用于查找关系R的传递闭包，或（与Schulze投票系统相关）在加权图中所有顶点对之间的最宽路径。

是不是觉得很高深？没错，这段介绍并没有什么多大的用。

换而言之
floyd就是一种求最短路的算法，最基础的算法
优点： 代码简短，易于理解，可用于负边权，可求所有点之间的距离
缺点： 时间复杂度爆炸

实现思想
其实floyd是利用dp的思想实现的，不断寻找中间点求最优解

枚举起始点，中点和终点，利用中点不断对不同的起点终点进行松弛操作，
更新任意两点之间的最优子答案，最后得到最优解

核心代码

for(int k=1;k<=n;k++)//枚举中点 
{
	for(int i=1;i<=n;i++)//枚举起点 
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)//枚举终点 
	    {
    	    if(i!=j&&i!=k&&j!=k) //三点不是相同的点时
	    	dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);//利用中点进行松弛操作
	    }
	}
}

是不是很easy？

当然并不是

你是否发现，或者有疑问，floyd的操作，如何能保证能得到最优解，而不是被埋没在次优解里，
或者说你疑问为什么最外层循环是枚举k，因为这样才能保证这个算法的正确性

还记得开始的介绍的实现思想么
没错，动态规划
我们设$dis [ k ] [ i ] [ j ]$ 表示$i$和$j$之间可以通过编号为1…k的节点的最短路径。
那么则$dis [ k ] [ i ] [ j ] 可以从dis [ k -1 ] [ i ] [ j ]$转移来，表示$i$到$j$不经过$k$这个节点。
也可以从$dis [ k - 1 ] [ i ] [ k ] + dis [ k - 1 ] [ k ] [ j ]$ 转移过来，表示经过k这个点。
意思即$dis [ k ] [ i ] [ j ] = min ( dis [ k - 1 ] [ i ] [ j ] ,dis [ k - 1 ] [ i ] [ k ] +dis [ k - 1 ] [ k ] [ j ] )$
然后我们能发现我们能dis的第一维k是可以省略的，因为k只和k-1有关（就和背包问题中0/1背包和完全背包的一维优化一个原理）

所以当前的$dis [ i ] [ j ]$ 都应该是完成上一层动态规划的，如果k不是在最外层，那么$dis [ i ] [ j ]$ 就不是完成上一层动态规划的后的状态，有可能有的点没有经过k-1这个点的松弛。

所以k要放在最外面

floyd虽然是最短路算法中最简单基础的一个，但永远不要小看任何一个算法，每种算法都有着自己的智慧