【LOJ #6089】小 Y 的背包计数问题（DP）

传送门

显然直接背包$dp$用前缀和做可以做到$n^2$

考虑令$k=sqrt n$
对于前$k$小暴力背包
后面$[k+1,n]$的显然怎么选都不会超过个数的限制
令$f[i][j]$表示已经有$i$个数，和为$j$的方案数
考虑这样$dp：$
$1、$新加入一个大小为$k+1$的数
$2、$将之前$i$个数每个都加$1$
显然这样是对的，且最多只有$k$个数

两部分复杂度都为$nsqrt n$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=23333333;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
cs int N=100005,M=345;
int n,m,f[2][N],g[2][N],s[N];
int main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	#endif
	n=read(),m=sqrt(n);
	f[0][0]=1;int cur1=0,cur2=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cur1^=1;
		for(int j=0;j<=n;j++){
			f[cur1][j]=f[cur1^1][j];
			if(j>=i)Add(f[cur1][j],f[cur1][j-i]);
		}
		for(int j=n;j>=i*(i+1);j--)
			if(j>=i*(i+1))Dec(f[cur1][j],f[cur1][j-i*(i+1)]);
	}
	g[0][0]=1,s[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cur2^=1;
		for(int j=0;j<=n;j++){
			g[cur2][j]=0;
			if(j>=m-1)Add(g[cur2][j],g[cur2^1][j-m-1]);
			if(j>=i)Add(g[cur2][j],g[cur2][j-i]);
			Add(s[j],g[cur2][j]);
		}
	}
	int res=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)Add(res,mul(f[cur1][i],s[n-i]));
	cout<<res<<'
';
}