【洛谷 P3772】[CTSC2017]游戏（矩阵乘法+线段树）

传送门

洛谷题解区牛逼啊
一个贴的$cz \_ xuyixuan$的，一个贴的$DZYO$的
为了发题解连亲妈都不要了吗？

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首先显然考虑每个位置赢的概率

问题在于
一个位置输赢的概率不只要考虑前面的
还要考虑造成下一个胜负确定位置的影响

参考给出的贝叶斯公式

$P(x_i=1|x_r,x_l)=frac{P(x_l,x_r|x_i)P(x_i)}{P(x_l,x_r)}$
$=frac{frac{P(x_l,x_r,x_i)}{P(x_i)}P(x_i)}{P(x_l)P(x_r|x_l)}$
$=frac{P(x_l,x_r,x_i)}{P(x_l)P(x_r|x_l)}$
$=frac{P(x_i,x_r|x_l)}{P(x_r|x_l)}$

可以发现下面就是$x_l$导致$x_r$为当前确认情况的概率，这个就是概率矩阵相乘
可以发现这时候
上面则不需要考虑$x_r$的影响了，上面所有i加起来就是赢的场数的期望，只需要在概率矩阵相乘的时候顺便算一个期望即可

然后就只需要在加入/删除确定时间的时候找一下前驱后继加加减减就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pb push_back
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
	static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
	(ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
	return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0;bool f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
int n,m;
cs int N=200005;
struct mat{
	double a[2][2];
	mat(){a[0][0]=a[1][0]=a[0][1]=a[1][1]=0;}
	friend inline mat operator +(cs mat &a,cs mat &b){
		mat c;
		for(int i=0;i<2;i++)
		for(int j=0;j<2;j++)
		c.a[i][j]=a.a[i][j]+b.a[i][j];
		return c;
	}
	friend inline mat operator *(cs mat &a,cs mat &b){
		mat c;
		for(int i=0;i<2;i++)
		for(int k=0;k<2;k++)
		for(int j=0;j<2;j++)
		c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
		return c;
	}
};
double p[N],q[N];
int sta[N];
namespace Seg{
	#define lc (u<<1)
	#define rc ((u<<1)|1)
	#define mid ((l+r)>>1)
	struct data{
		mat a,b;
		inline void init(double p,double q){
			a.a[0][0]=1-q,a.a[0][1]=q,a.a[1][0]=1-p,a.a[1][1]=p;
			b.a[0][1]=q,b.a[1][1]=p;
		}
		friend inline data operator *(cs data &a,cs data &b){
			data c;
			c.a=a.a*b.a;
			c.b=a.a*b.b+a.b*b.a;
			return c;
		}
	}s[N<<2];
	inline void pushup(int u){
		s[u]=s[lc]*s[rc];
	}
	void build(int u,int l,int r){
		if(l==r){
			s[u].init(p[l],q[l]);return;
		}
		build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
		pushup(u);
	}
	data query(int u,int l,int r,int st,int des){
		if(st<=l&&r<=des)return s[u];
		if(des<=mid)return query(lc,l,mid,st,des);
		if(mid<st)return query(rc,mid+1,r,st,des);
		return query(lc,l,mid,st,des)*query(rc,mid+1,r,st,des);
	}
	inline double getans(int l,int r){
		data now=query(1,0,n+1,l+1,r);
		return now.b.a[sta[l]][sta[r]]/now.a.a[sta[l]][sta[r]];
	}
	#undef lc
	#undef rc
	#undef mid
}
char op[5];
map<int,int> vt;
#define It map<int,int>::iterator
int main(){
	#ifdef Stargazer
	freopen("lx.in","r",stdin);
	#endif
	n=read(),m=read();scanf("%s",op);
	scanf("%lf",&p[1]);
	for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i],&q[i]);
	p[0]=q[0]=1,p[n+1]=q[n+1]=0;
	Seg::build(1,0,n+1);
	vt[0]=1,vt[n+1]=0,sta[0]=1,sta[n+1]=0;
	double ans=Seg::getans(0,n+1);
	while(m--){
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='a'){
			int pos=read(),c=read();
			It nxt=vt.lower_bound(pos),pre=nxt;pre--;
			vt[pos]=c,sta[pos]=c;
			ans-=Seg::getans(pre->fi,nxt->fi);
			ans+=Seg::getans(pre->fi,pos);
			ans+=Seg::getans(pos,nxt->fi);
		}
		else{
			int pos=read();
			It nxt=vt.upper_bound(pos),pre=nxt;pre--,pre--;
			ans+=Seg::getans(pre->fi,nxt->fi);
			ans-=Seg::getans(pre->fi,pos);
			ans-=Seg::getans(pos,nxt->fi);
			sta[pos]=0;pre++,vt.erase(pre);
		}
		printf("%.7lf
",ans);
	}
}