【LOJ#575】【LibreOJ NOI Round #2】—不等关系（容斥+分治NTT）

传送门

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设$f_i$表示前$i$个数都满足限制的方案数

考虑如果忽略$>$号的限制
实际上就是若干个上升段
由于实际上需要在某些位置强制下降
可以考虑容斥
设$cnt_i$表示前$i$个有多少个$>$
那么$f_n=sum_{i=0}^{n-1}[s_i='>'](-1)^{cnt_{n-1}-cnt_i}{nchoose i}f_i$
$frac{f_n}{n!(-1)^{cnt_{n-1}}}=sum_{i=0}^{n-1}[s_i='>'](-1)^{cnt_i}{}frac{f_i}{i!}(n-i)!$

实际上容斥的意义就是强制后面一段的一些限制都不满足并减去这个方案
因此强制$f_0=1$

这个形式可以用分治$ntt$优化

复杂度$O(nlog^2n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define bg begin
#define poly vector<int>
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=998244353,G=3;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?a-=mod:0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?a+=mod:0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=1ll*a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
cs int C=19;
poly w[C+1];
inline void init_w(){
	for(int i=1;i<=C;i++)w[i].resize(1<<(i-1));
	int wn=ksm(G,(mod-1)/(1<<C));
	w[C][0]=1;
	for(int i=1;i<=(1<<(C-1));i++)w[C][i]=mul(w[C][i-1],wn);
	for(int i=C-1;i;i--)
	for(int j=0;j<(1<<(i-1));j++)
	w[i][j]=w[i+1][j<<1];
}
int rev[(1<<C)|5];
inline void init_rev(int lim){
	for(int i=0;i<lim;i++)
	rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(lim>>1));
}
inline void ntt(poly &f,int lim,int kd){
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i>rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	for(int mid=1,l=1,a0,a1;mid<lim;mid<<=1,l++)
		for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1))
		for(int j=0;j<mid;j++)
		a0=f[i+j],a1=mul(w[l][j],f[i+j+mid]),f[i+j]=add(a0,a1),f[i+j+mid]=dec(a0,a1);
	if(kd==-1){
		reverse(f.bg()+1,f.bg()+lim);
		for(int i=0,Iv=Inv(lim);i<lim;i++)Mul(f[i],Iv);
	}
}
inline poly operator *(poly a,poly b){
	int deg=a.size()+b.size()-1,lim=1;
	if(deg<=32){
		poly c(deg,0);
		for(int i=0;i<a.size();i++)
		for(int j=0;j<b.size();j++)
		Add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
		return c;
	}
	while(lim<deg)lim<<=1;
	init_rev(lim);
	a.resize(lim),ntt(a,lim,1);
	b.resize(lim),ntt(b,lim,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)Mul(a[i],b[i]);
	ntt(a,lim,-1),a.resize(deg);
	return a;
}
cs int N=100005;
char s[N];
int f[N],n,cnt[N],fac[N],ifac[N];
inline void init_inv(){
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[n]=Inv(fac[n]);
	for(int i=n-1;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
}
#define mid ((l+r)>>1)
inline void cdq(int l,int r){
	if(l==r)return ;
	cdq(l,mid);
	poly a,b;
	a.pb(0),b.pb(0);
	for(int i=1;i<=r-l+1;i++)a.pb(ifac[i]);
	for(int i=l;i<=mid;i++)b.pb(s[i]=='<'?0:((cnt[i]&1)?mod-f[i]:f[i]));
	a=a*b;
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)
	Add(f[i],mul(((cnt[i-1]&1)?mod-1:1),a[i-l+1]));
	cdq(mid+1,r);
}
#undef mid
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1)+1;
	for(int i=1;i<n;i++)cnt[i]=cnt[i-1]+(s[i]=='>');
	init_w(),init_inv();
	f[0]=1;
	cdq(0,n);
	cout<<mul(f[n],fac[n])<<'
';
}