【洛谷P4708】—画画（Burnside引理）

传送门

好像暴力枚举拆分解异或方程就可以过

首先显然的一个联通块内所有点度数都是偶数

首先显然要枚举循环拆分
考虑对于一个循环，内部连边
如果循环大小$x$为偶数
那么有$x/2$种方案，其中有一种（对角线）的所有等价的连边会改变所有点的奇偶性
其余不改变
为奇数的话则不会改变

考虑循环外的连边
显然大小为$x,y$的2个循环会有$x*y/lcm(x,y)=gcd(x,y)$种等价类
每个等价类中
$x$每个点连了$y/gcd(x,y)$，$y$每个点连了$x/gcd(x,y)$条边
分别考虑$x,y$的奇偶性
如果都为偶数则不影响
如果一个为奇数，则相当于给那个循环一次改变所有点奇偶性的机会
如果都为偶数，则相当于可以把2个循环奇偶性一起改变的机会

考虑现在问题是，我们有一些点和一些边
对于每个点有$a[i]$次机会改变奇偶性
对于每个边有$b[j]$次机会改变2点奇偶性
问方案数

考虑对于每个连通块分别计算
假设总共有$a$次点，$b$次边，连通块大小为$n$
那么总共方案数就是$2^{a-1+b-(n-1)}$
考虑对于任意一种生成树
对于点，前面每次任意，最后一次由于点操作必须为偶数次
（否则图的度数就不是偶数了）所以是确定的
对于任意非树边任意且点确定的情况
树边有且仅有一种方案对应
所以是对的

特判一下$a=0$的时候

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ob==ib)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ob==ib)?EOF:*ib++;
}
#define gc getchar
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0,f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
#define ll long long
#define re register
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define cs const
#define bg begin
#define poly vector<int>
cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?a-=mod:0;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?a+=mod:0;}
inline void Mul(int &a,int b){a=1ll*a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline void chemx(int &a,int b){a<b?a=b:0;}
inline void chemn(int &a,int b){a>b?a=b:0;}
cs int N=66;
int fac[N],ifac[N],inv[N],gcd[N][N],cnt[N];
int n,ans;
vector<int> divi;
inline void init(){
	fac[0]=ifac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[N-1]=Inv(fac[N-1]);
	for(int i=N-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
int fa[N],val[N];
inline int find(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
inline void calc(){
	int coef=fac[n],tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)Mul(coef,ifac[cnt[i]]);
	for(int &x:divi)Mul(coef,inv[x]);
	int siz=divi.size();
	for(int i=0;i<siz;i++)fa[i]=i,val[i]=0;
	for(int i=0;i<siz;i++){
		int x=divi[i];
		tot+=(x-1)/2;
		if((x&1)==0)val[i]++;
	}
	for(int i=0;i<siz;i++)
	for(int j=i+1;j<siz;j++){
		int g=gcd[divi[i]][divi[j]];
		int x=(divi[i]/g)&1,y=(divi[j]/g)&1;
		if(x+y==2){
			int f1=find(i),f2=find(j);
			if(f1!=f2)fa[f1]=f2;tot+=g;
		}
		else if(x+y==0)tot+=g;
		else if(x==1)val[j]+=g;
		else val[i]+=g;
	}
	for(int i=0;i<siz;i++)
		if(find(i)!=i)val[find(i)]+=val[i];
	for(int i=0;i<siz;i++)
	if(find(i)==i){
		tot+=val[i]?val[i]-1:0,tot++;
	}tot-=siz;
	Add(ans,mul(coef,ksm(2,tot)));
}
void dfs(int res,int mx){
	if(!res)return calc();
	if(res<mx)return;
	for(int i=mx;i<=res;i++)
	cnt[i]++,divi.pb(i),dfs(res-i,i),cnt[i]--,divi.pop_back();
}
inline int Gcd(int a,int b){
	return b?Gcd(b,a%b):a;
}
int main(){
	init();
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)gcd[i][j]=Gcd(i,j);
	dfs(n,1);
	cout<<mul(ifac[n],ans);
}