【校内模拟7.30】—slay（容斥+dp）

传送门

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md我连exgcd都不会了我好菜啊

考虑首先$n$为质数时

考虑如果前$k-1$个都随便取
那最后一个就固定了选哪个
但是这样有可能和前面重复

考虑容斥
$ans=frac 1 ksum_{i=1}^{k} (-1)^{i-1}C_n^{k-i}$
由于$n$为质数，所以我们枚举相同的最后选了$i$次，前面$k-i$随便选
相当于解同余方程，有唯一解

考虑当$n$不为质数时
相当于解方程$xi+s=py$
要求$s|gcd(i,p)$
现在要求的是有多少个$x$满足这个方程
相当于求$x$的解的个数

考虑$x$变$frac p {gcd(i,p)}$,$y$变$frac i {gcd(i,p)}$
恰好有一组正整数解
$xin[0,n-1]$
有$n$个取值
所以方案为$frac {n}{frac{p}{gcd(i,p)}}=n/p*gcd(i,p)$

设$f[p][k]$表示选$k$个为$p$的倍数的方案数

则$f[p][k]=sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}n/p*gcd(i,p)f[gcd(i,p)][k-i]$

递归求解即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define gc getchar
inline int read(){
	char ch=gc();
	int res=0,f=1;
	while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
	while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
	return f?res:-res;
}
#define re register
#define pb push_back
#define cs const
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define ll long long
const int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?a-mod:a;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline int dec(int a,int b){return (a-=b)<0?a+mod:a;}
inline void Dec(int &a,int b){(a-=b)<0?(a+=mod):0;}
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b>=mod?1ll*a*b%mod:a*b;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;
}
cs int N=5005;
int inv[N],fac[N],ifac[N],c[N],n,k;
inline void init(){
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	fac[0]=ifac[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[N-1]=ksm(fac[N-1],mod-2);
	for(int i=N-2;i;i--)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	c[0]=1,c[1]=n;
	for(int i=2;i<=k;i++)c[i]=mul(c[i-1],mul(n-i+1,inv[i]));
}
int f[N][N];
inline int gcd(int x,int y){
	return y?gcd(y,x%y):x;
}
int dfs(int p,int k){
	if(k==0)return 1;
	if(p==1)return c[k];
	if(p<N&&f[p][k]!=-1)return f[p][k];
	int res=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int g=gcd(i,p);
		if(i&1)Add(res,mul(n/p,mul(g,dfs(g,k-i))));
		else Dec(res,mul(n/p,mul(g,dfs(g,k-i))));
	}
	Mul(res,inv[k]);
	if(p>=N)return res;
	return f[p][k]=res;
}
int main(){
	n=read(),k=read();
	init(),memset(f,-1,sizeof(f));
	cout<<dfs(n,k);
}