算法学习——动态规划之装载问题

算法描述

两艘船各自可装载重量为c1，c2，n个集装箱，各自的重量为w[n]，设计一个可以装载的方案，使得两艘船装下全部集装箱

算法思路

1. 将第一艘船尽量装满（第一艘船放的集装箱的重量之和接近c1），剩余的集装箱放入第二艘船，若剩余的集装箱重量之和大于第二艘船，则无解

2. 定义一个一维数组，a[n] 存放对应的集装箱的重量

3. 定义一个数组，m[i][j]表示第一艘船还可装载的重量j，可取集装箱编号范围为i，i+1...n的最大装载重量值

   例如 现在有3个集装箱 重量分别为9，5，3,即a[1]=9 a[2]=5 a[3]=3

   m[1][2]=0 可装载重量为2，此时上述的三个集装箱都不能装入，所以为最大可装载重量为0

   m[1][3]=m[1][4]=3 可装载重量为3或者是4的时候，都是只能装入重量为3的那个集装箱，所以最大可装载重量为3 `

   实际上，这里的3=a[3]+m[1][2]，是一个递推的关系，具体看下面`

4. m[i][j]分下面两种情况

   • 0<=j<a[n] (当可装载重量j小于第n个集装箱的重量w[n]，此时就不能往船上装此集装箱) m[i][j] = m[i+1][j]

   • j>=a[n] （可装载重量j大于或等于第n个集装箱的重量w[n]）,此时剩余的可装载重量为j-a[n](装入了此时的集装箱)，最大的可装载重量为m[i+1][j-w[n]]+w[n]

     但是我们是需要最大的可装载重量，所以得与如果不将当前集装箱装入的那种情况m[i+1][j]进行比较

     m[i][j]=Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-a[n]+a[n]])

5. 上面我们就获得了一个关于m[i][j]的递推关系，我们通过逆推获得全部的数值

   • 初始值

     m[i][j]=0 这里的i=n j从0到a[n] 这里的a[n]是第n个集装箱重量（最后一个集装箱的重量）

     这里的赋值其实就是上述m[i][j]两种情况的第一种情况，最后一个集装箱的重量大于可装载重量，不装载此集装箱，所以最大可装载重量为0，

     m[i][j]=a[n] 这里的i=n j从a[n]到c1 这里的a[n]是第n个集装箱的重量（最后一个集装箱的重量）

     这里的意思为当可装载重量j只要都是大于最后一个集装箱的重量a[n]，即可装入此集装箱，所以最大可装载重量等于装入的集装箱的重量

   • 开始逆推

     使用上述的递推公式进行逆推

       for (int i = n; i >= 1 ; i--) {
       	for (int j = 1; j <=c1; j++) {
       		if(j>=a[i]){
       			m[i][j] = Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-a[i]]+a[i]);
       		}else{
       			m[i][j]=m[i+1][j];
       		}
       	}
       }
     

6. 之后再进行输出，输出第一艘船的装载方案，输出第二艘船的装载方案

算法实现

	System.out.println("输入第一艘船可装载重量c1:");
	Scanner scanner = new Scanner(System.in);
	int c1 = scanner.nextInt();
	System.out.println("输入第二艘船可装载重量c2：");
	int c2 = scanner.nextInt();
	System.out.println("输入集装箱个数n：");
	int n = scanner.nextInt();

	int[] a = new int[n+1];
	//使用一维数组存放集装箱重量
	System.out.println("依次输入集装箱的重量");
	for (int i =1; i < n+1; i++) {
		a[i] = scanner.nextInt();
	}


	int sum = 0;//集装箱重量总和
	for (int i = 0; i < a.length; i++) {
		sum=sum+a[i];
	}
	//超重情况
	if(sum>c1+c2){
		System.out.println("集装箱重量之和大于两艘船可装载重量，题目无解");
		return;//结束程序
	}

	int[][] m = new int[100][100];//m[i][j]表示第一艘船还可装载的重量j，可取集装箱编号范围为i，i+1...n的最大装载重量值
	//赋初始值,由于是逆推，所以从末尾开始
	//可装载重量j小于第n个集装箱重量a[n]，不装此集装箱，赋值为0
	for (int j = 0; j < a[n]; j++) {
		m[n][j] = 0;
	}
	//可装载重量j大于或等于第n个集装箱重量a[n]，装载此集装箱，此时刻最大装载重量值为a[n]
	for (int j = a[n]; j <=c1 ; j++) {
		m[n][j]=a[n];
	}

	//关键逆推代码
	for (int i = n; i >= 1 ; i--) {
		for (int j = 1; j <=c1; j++) {
			if(j>=a[i]){
				m[i][j] = Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-a[i]]+a[i]);
			}else{
				m[i][j]=m[i+1][j];
			}
		}
	}
	int maxc1 = m[1][c1];//最大可装载重量
	System.out.println("maxc1="+maxc1);

	if(maxc1>sum-c2){
		int cw = m[1][maxc1];
		int sw,i;
		//输出第一艘船的装载
		System.out.println("第一艘船装载：");
		for (sw=0,i=1;i<=n;i++){
			if(m[i][cw]>m[i+1][cw]){

				cw = cw-a[i];
				sw=sw+a[i];//统计sw，sw的最终结果与maxc1相等
				System.out.print(a[i]+"		");

				a[i]=0;//装载当前的集装箱
			}
		}
		System.out.print("("+sw+")");
		System.out.println("");
		//输出第二艘船的装载
		System.out.println("第二艘船装载：");
		for(sw=0,i=1;i<=n;i++){
			//已装载在第一艘船的集装箱a[i]都已经为0了,只需要将不为0的那些集装箱装入第二艘船即可
			if(a[i]!=0){
				System.out.print(a[i]+"		");
				sw=a[i]+sw;
			}
		}
		System.out.println("("+sw+")");

	}else{
		System.out.println("无解");
	}

结果