题解 AT5141 【[AGC035D] Add and Remove】

AtCoder

luogu

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题目大意：

给定一个长度为(N)的序列，每一次可以选择连续的三个数(a_{i-1}),(a_{i}),(a_{i+1}),将其合并变为(a_{i-1}+a_{i})和(a_{i},a_{i+1}),依次合并，最后只剩下两个数，求合并后这两个数的和的最小值。

输入格式：

(n)

(a_1) (a_2) (a_3) (a_4) (dots) (a_n)

思路分析

1. 猜测

刚拿到这道题的时候，我看了一下，发现不可做（哈哈哈）

但是我看了一下数据范围

[n leq 18 ]

然后通过计算器可以算出来

[2^{18}= 262144 ]

[3……{18}=dots ]

然后可以猜出，(2)的指数级别的可做。

2.分析猜测

我在上面为什么要写出2的指数，不是因为其他，就是因为在竞赛里面，这种看着(n)特别小的东西，一般时间复杂度都是指数级别的。

所以我们可以猜测时间复杂度的主流是(2^n)

3.分析题目

题目上描述的是将中间删去，再添加到两边去，那么我们可以考虑到说选两个点(l),(r),表示在l~r区间中最后留下来的是l&r。

题目上说的是将中间的删去，再添加到两边上去，那么我们可以想到正难则反的思想！

我们不考虑第一个删去的是谁，我们考虑最后一个留下的是谁。我们可以分析出为什么要这样想：

因为若是考虑第一个删去的是谁，那删去之后就还有许多不确定的抉择，很难分析，而且无法划分出区间，但是若考虑最后留下 的是谁，那我们就可以清楚的划分出区间，然后左右区间处理就对了。

区间！关键词！

那我们就自然而然想到区间DP

首先，操作可以看做是选择不是两边的一个数，将它删去并把它加到左右两项上

妨考虑倒序考虑整个过程，同时最后的结果一定是每个数乘上一个系数的和。那么最开始，(a_1)和(a_n)的系数都是1

那就可以考虑说设(dp[l][r][x][y])

表示当前未被删除的数两端是l和r，中间的数已经被删除过了。(a_l)对答案贡献的系数为(x),(a_r)对答案贡献的系数为(y)。

然后每次转移的时候就是贡献的转移

[f[l][r][x][y]=min(f[l][i][x][x+y]+f[i][r][x+y][y]+a[i] imes (x+y)) ]

这样下来的话就是(O(n^3 imes 2^n))

可是我们完全可以将其改为搜索，然后(n^3)就没有了

[the;small;but;strong;code ]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define re register int
#define Starseven main
#define ll long long
using namespace std;
const int N=20;
ll a[N];

ll Dfs(int l,int r,int x,int y){
	if(l+1>=r) return 0;
	ll ans=100000000000000000;
	for(re i=l+1;i<=r-1;i++)
		ans=min(ans,Dfs(l,i,x,x+y)+Dfs(i,r,x+y,y)+a[i]*(x+y));
	return ans;	
}

int Starseven(void){
	int n;
	cin>>n;
	for(re i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	cout<<a[1]+a[n]+Dfs(1,n,1,1)<<endl;
	return 0;
}