前言
以下内容是个人学习之后的感悟，转载请注明出处~
梯度下降法
一、简介
梯度下降法(gradient decent)是一个最优化算法，通常也称为最速下降法。常用于机器学习和人工智能当中用来递归性地
逼近最小偏差模型。
二、原理
梯度下降法，顾名思义，从高处寻找最佳通往低处的方向，然后下去，直到找到最低点。我们可以看到，J(θ0，θ1)是以θ0，θ1为
自变量的函数，它们的关系如图1中所示。图中，起始点的黑色十字从红色的高坡上，一步一步选择最佳的方向通往深蓝色的低谷，这
其实就是梯度下降法的作用。
图1
微妙的是图1中的低谷有很多个，选择不同的起始点，最终达到的低谷也会有所不同。如图2所示，黑色十字跑向了另外一个低谷。此时
有些人就会问：为什么会产生这种现象？其实，原因很简单，梯度下降法在每次下降的时候都要选择最佳方向，而这个最佳方向是针对局部
来考虑的，不同的起始点局部特征都是不同的，选择的最佳方向当然也是不同，导致最后寻找到的极小值并不是全局极小值，而是局部极小
值。由此可以看出，梯度下降法只能寻找局部极小值。一般凸函数求极小值时可以使用梯度下降法。
图2
梯度下降法的公式为：
（1）
公式（1）中“：=”符号代表赋值，并不是代表“等于”，J(θ0，θ1)是需要求极小值的函数。
三、使用方式：以线性回归为例
设线性回归的假设函数为:
（2）
设代价函数为：
（3）
目标：寻找J(θ0，θ1)的最小值。
措施：使用梯度下降法：
原理：根据公式(1)，可以知道求参数θ，下一步的θ是由上一步的θ减去α乘以J(θ0，θ1)在上一点的斜率值产生的，
如图3所示，然后不断迭代，当θ值不变时，J(θ0，θ1)达到极小值。
图3
步骤： 不断执行以下公式（4），直到公式（1）收敛，即达到极小值。
（4）
注意：公式（4）中各行不能调换顺序，否则并不是梯度下降法（也许是其他算法，如果有哪位大神知道，请不吝赐教~）
比如公式（5）这种形式，θ0刚更新完，马上就用于下一步的θ1的更新计算，脱离了梯度下降法的意图。
（5）
四、如何提高梯度下降法的效率
主要有两种方法：
1、特征值x的缩放
why? —— 很多人也许会问：为什么要缩放特征值？缩放特征值x就能提高效率？
本人打算用图4来讲解，J(θ)是假设函数hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2的代价函数，图中J(θ)关于θ1、θ2的等高线图中带箭头的
红线是迭代的分步，左边是x1、x2数量级相差较大的时候，红线弯来弯去，迭代效率很低，右边则是x1、x2数量级相差较小的时
候，带箭头的红线很快到达了等高线图的最低点，取得极小值，效率很高。所谓的缩放特征值x，就是让所有的x值在数量级
上相差不大，达到提高迭代效率的目的。
图4
缩放特征值的方法大致有以下三种：
- 除以最大值 （以x1为例，将x1所有样本的值除以max{x1}，此时-1≤x1≤1）
- 均值归一化 （x1:=(x1-μ)/(max{x1}-min{x1})，其中μ为x1的平均值，此时-0.5≤x1≤0.5）
- 均值方差归一化
2、选择适当的α
公式(1)中α起着很重要的作用，如果选的太小，则会出现图5左边这种情况，迭代很慢；如果选的太大，则会出现图4右边这种
情况，很糟糕，过大的α使迭代不收敛。
图5
α的选择是需要通过计算一个个试的，按我的经验来说，我一般会这样取值（仅限参考，勿喷~）：
- ......，0.001，0.003，0.01，0.03，0.1，.........(以此类推)
以上是全部内容，如果有什么地方不对，请在下面留言，谢谢~