Luogu 1447

Luogu 1447 - [NOI2010]能量采集

题意

给定(n,m)，在坐标系((0,0)) 位置有一个能量采集器

可行范围为(n imes m)内的所有整数点（不包括坐标轴上）

开采每个整数点会造成(1)能量损失

对于每个点((x,y))，如果((0,0))与其连线上存在着(cnt)个其它整数点，那么它的能量损失将会增加(2 imes cnt)

即对于每个点，能量损失为(2 imes cnt_{(x,y)}+1)

求(n imes m)范围内所有点的能量损失之和，即求

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m2 imes cnt_{(x,y)}+1 ]

限制

(Case=1, 1leq n,mleq 10^5)

思路

根据题意（或据图可得）

每个点((x,y))与((0,0))点连线上的其余整数点个数即为(gcd(x,y)-1)

所以所求的答案即可转化为

[egin{align} &sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m2 imes (gcd(i,j)-1)+1\ =&sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m2 imes gcd(i,j)-1\ =&2 imes sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j))-n imes m\ =&2 imes sum_{d=1}^{min(n,m)}d imessum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d] -n imes m\ =&2 imes sum_{d=1}^{min(n,m)}d imessum_{i=1}^{frac n d}sum_{j=1}^{frac m d}[gcd(i,j)=1] -n imes m\ =&2 imes sum_{d=1}^{min(n,m)}d imessum_{i=1}^{frac{min(n,m)}{d}}mu(i)lfloorfrac{lfloorfrac n d floor}{i} floorlfloorfrac{lfloorfrac m d floor}{i} floor -n imes m\ end{align} ]

直接套板子即可

代码

Case Max (15ms/1000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100000;

ll mu[N+50],prim[N+50];
bool vis[N+50];

void init(int n)
{
    memset(vis,false,sizeof vis);
    mu[1]=1;
    int p=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[p++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<p;j++)
        {
            int k=i*prim[j];
            if(k>n)
                break;
            vis[k]=true;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                mu[k]=0;
                break;
            }
            else
                mu[k]=-mu[i];
        }
    }
}

int main()
{
    init(N);
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ll ansd,ans=0;
    int mn=min(n,m);
    for(int d=1;d<=mn;d++)
    {
        int mnd=mn/d,a=n/d,b=m/d;
        ansd=0;
        for(int i=1;i<=mnd;i++)
            ansd+=mu[i]*(a/i)*(b/i);
        ans+=ansd*d;
    }
    printf("%lld
",ans*2-1LL*n*m);
    
    return 0;
}