2020杭电多校 8K / HDU 6865

HDU 6865 - Kidnapper's Matching Problem

题意

给定(n,m,k(mleq n))，给定长度为(n)的数组({a})，长度为(m)的数组({b})，长度为(k)的集合({S})

定义(2_⊕^S)为({S})的任意子集的异或和（xor_sum）的可能结果所形成的新集合

定义两等长集合({x},{y})的(matches)函数

该函数会遍历判断(x_i xor y_i in 2_⊕^S)

如果对于所有的(i(ileq|x|,|y|))，(x_i xor y_i in 2_⊕^S)均成立，则(matches)返回(1)，否则返回(0)

问下式的值

[sum_{i=1}^{n-m+1}[(a_i,a_{i+1},dots ,a_{i+m-1}) matches b]cdot2^{i-1} mod (10^9+7) ]

限制

(1leq Tleq 2cdot10^4)

(1leq nleq2cdot10^5, 1leq mleq min(n, 5cdot10^4), 1leq kleq100)

(0leq a_i,b_i,S_ilt2^{30})

(sum nleq1.2cdot10^6, sum mleq3cdot10^5, sum kleq 6cdot10^5)

思路

先求出({S})的线性基(bs)

（下面是官方题解的内容）

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结论：假设(x,y)消去线性基(bs)中的位后得到的数分别位(x',y')，那么下列关系式成立

[x⊕yin 2_⊕^S iff x'=y' ]

证明：

充分性：根据线性基的性质，(x⊕y)必然能由(x'⊕y')再异或上线性基(bs)内某些数得到，所以在(x'=y')时(x⊕yin 2_⊕^S)

必要性：反证，因为(x',y')不包含线性基(bs)中的位（对应的位被消去），所以(x'⊕y')也不会包含(bs)中的位。又因为(x' eq y')，所以(x'⊕y' eq0)，则(x'⊕y')一定包含无法用(bs)来表示的位，故(x'⊕y' otin 2_⊕^S)

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也确实只要有了这个结论，让({a})与({b})中所有元素全部消去线性基(bs)中的位后，本题便变成了一道快速匹配模板题

由于(ngeq m)，且答案是根据([Sub(a) matches b])来计算的，故选择({a})作为主串，选择({b})作为模式串，套KMP即可

主要注意对于题目公式中的(i=1)，实际上在KMP中主串光标应该是位于(i=m)位置才对

所以如果在主串第(p)个位置匹配成功，实际上应该加上(2^{p-m+1})

由于按照顺序来匹配，(2^n)通过递推即可，其余的注意下细节就可以了

代码

(826ms/2000ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;

int n,m,k,a[200050],b[200050],S[111];
int Next[200050];

struct LinearBase
{
    int v[35];
    void init()
    {
        memset(v,0,sizeof v);
    }
    void insert(int x)
    {
        for(int i=30;i>=0;i--)
            if(x>>i&1)
            {
                if(v[i])
                    x^=v[i];
                else
                {
                    v[i]=x; 
                    break;
                }
            }
    }
    int solve(int x)
    {
        for(int i=30;i>=0;i--)
            if(x>>i&1)
                x^=v[i];
        return x;
    }
}bs;

void getNext()
{
    Next[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=m;i++)
    {
        while(j>0&&b[j+1]!=b[i])
            j=Next[j];
        if(b[j+1]==b[i])
            j++;
        Next[i]=j;
    }
}

void KMP()
{
    int n2=1,ans=0;
    for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
    {
        while(j>0&&b[j+1]!=a[i])
            j=Next[j];
        if(b[j+1]==a[i])
            j++;
        if(j==m)
        {
            ans=(ans+n2)%mod;
            j=Next[j];
        }
        if(i>=m)
            n2=(2LL*n2)%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
}

void solve()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    bs.init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        scanf("%d",&S[i]);
        bs.insert(S[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=bs.solve(a[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        b[i]=bs.solve(b[i]);
    getNext();
    KMP();
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}