ZJNU 2471

COCI 2016/2017 CONTEST #3 - Kronican

ZJNU 2471 - Kronican

题意

有(n)个无限体积的杯子，里面都有一些水，Mislav想喝掉所有的水，但他只想喝最多(k)杯水

所以他需要将这(n)杯水进行合并，将第(i)杯水倒进第(j)杯所需要的花费为(C_{i,j})

问喝到所有水的最小花费

限制

(1leq kleq nleq 20)

(0leq C_{i,j}leq 10^5)

思路一（最小树形图）

由于数据范围只有(20)，首先可以枚举出最后剩下的(k)杯水是哪些，最多的情况数为(C_{20}^{10})

• 可以以(0/1)两种状态表示每个杯子最终状态，存在一个长度为(n)的数组内，以next_permutation来遍历所有(C_n^k)种情况即可，也可通过二进制枚举方法等。

对于枚举出来的每一个状态，确定了最后“剩下的水杯”是哪些。

将水杯看作一张有向图中的节点，就表示需要找出一张最小树形图（森林），使得每个“空水杯”顺着箭头走最终都会指向那些“剩下的水杯”。

又贪心可得，“剩下的水杯”严格为(k)杯时答案最优，所以这可能是一张包含(k)棵有向树的森林，故需要建立一个虚根，让所有“剩下的水杯”指向这个虚根，再对虚根做一遍最小树形图即可。

• 下图为(n=11,k=3)时的树形图（注意在跑最小树形图算法时应反向建边）

程序一

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;

struct Edge{
    int u,v,dis;
    Edge(){}
    Edge(int u,int v,int dis):u(u),v(v),dis(dis){}
};
struct Directed_MT{
    int n,m;
    Edge edges[400];
    int vis[25],pre[25],id[25],in[25];
    void init(int n){
        this->n=n;
        m=0;
    }
    void addedge(int u,int v,int dis){
        edges[m++]=Edge(u,v,dis);
    }
    int DirMt(int root){
        int ans=0;
        while(1){
            for(int i=0;i<n;i++)in[i]=INF;
            for(int i=0;i<m;i++){
                int u=edges[i].u,v=edges[i].v;
                if(edges[i].dis<in[v]&&u!=v){
                    in[v]=edges[i].dis;
                    pre[v]=u;
                }
            }
            for(int i=0;i<n;i++){
                if(i==root)continue;
                if(in[i]==INF)return -1;
            }
            int cnt=0;
            memset(id,-1,sizeof(id));
            memset(vis,-1,sizeof(vis));
            in[root]=0;
            for(int i=0;i<n;i++){
                ans+=in[i];
                int v=i;
                while(vis[v]!=i&&id[v]==-1&&v!=root){
                    vis[v]=i;
                    v=pre[v];
                }
                if(v!=root&&id[v]==-1){
                    for(int u=pre[v];u!=v;u=pre[u]) 
                        id[u]=cnt;
                    id[v]=cnt++;
                }
            }
            if(cnt==0)break;
            for(int i=0;i<n;i++) 
                if(id[i]==-1)id[i]=cnt++;
            for(int i=0;i<m;i++){
                int v=edges[i].v;
                edges[i].v=id[edges[i].v];
                edges[i].u=id[edges[i].u];
                if(edges[i].u!=edges[i].v) 
                    edges[i].dis-=in[v];
            }
            n=cnt;
            root=id[root];
        }
        return ans;
    }
}MT;

int n,k,a[30];
int cost[30][30];

int solve()
{
    MT.init(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==1)
            MT.addedge(n,i-1,0); //注意编号从0开始，故全部-1
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]==0)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(i!=j)
                    MT.addedge(j-1,i-1,cost[i][j]); //建立反向边
        }
    return MT.DirMt(n);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&cost[i][j]);
    for(int i=1;i<=n-k;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=n-k+1;i<=n;i++)
        a[i]=1;
    int ans=INF;
    do{
        ans=min(ans,solve());
    }while(next_permutation(a+1,a+1+n));
    printf("%d
",ans);
    
    return 0;
}

思路二（状压DP）

以二进制存储当前(n)个杯子是否有水

每一次倒水一定是由“有水的杯子”倒向“有水的杯子”

故可以枚举状态(S)，二进制上以(1)代表有水，以(0)代表无水

那么对于每一种状态(S)，枚举其中两个有水的杯子(i,j)，表示此时枚举的是将(i)杯子中的水倒入(j)杯子中

倒完后，(i)杯子将会成为空杯子，故此时是由状态(S)转移到状态(S xor 2^i)（将(S)中第(i)个位置的(1)变为(0)）的，得到状态转移方程为

[dp[S xor (1<<i)]=min(dp[S xor (1<<i)], dp[S]+cost[i][j]) ]

由于枚举的(i,j)两位置在(S)内保证为(1)（有水），故(S xor 2^ilt S)一定成立，所以对于状态(S)只需要从大到小枚举即可（自(2^n-1)到(0)）

程序二

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,k,cost[25][25];
int dp[1<<21];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            scanf("%d",&cost[i][j]);
    dp[(1<<n)-1]=0; //初始状态花费为0
    for(int S=(1<<n)-2;S>=0;S--)
        dp[S]=INF;
    for(int S=(1<<n)-1;S>=0;S--) //枚举状态S
    {
        for(int i=0;i<n;i++) //枚举倒出的杯子
        {
            if(S&(1<<i)) //倒出的杯子中有水
            {
                for(int j=0;j<n;j++) //枚举倒入的杯子
                {
                    if(i==j)
                        continue;
                    if(S&(1<<j)) //倒入的杯子中有水
                        dp[S^(1<<i)]=min(dp[S^(1<<i)],dp[S]+cost[i][j]);
                }
            }
        }
    }
    int ans=INF;
    for(int S=(1<<n)-1;S>=0;S--)
        if(__builtin_popcount(S)==k) //如果剩下的有水杯子个数为k，取一次答案
            ans=min(ans,dp[S]);
    printf("%d
",ans);
    
    return 0;
}