Codeforces 1487E

Educational Codeforces Round 104 (Rated for Div. 2) E. Cheap Dinner

题意

给定(n_1)种第一道菜的价格(a_i)，(n_2)种第二道菜的价格(b_i)，(n_3)种饮料的价格(c_i)，(n_4)种甜点的价格(d_i)

有(m_1)种组合((x_i,y_i))，描述编号为(x_i)的第一道菜与编号为(y_i)的第二道菜不能搭配

有(m_2)种组合((x_i,y_i))，描述编号为(x_i)的第二道菜与编号为(y_i)的饮料不能搭配

有(m_3)种组合((x_i,y_i))，描述编号为(x_i)的饮料与编号为(y_i)的甜点不能搭配

问是否能够每种种类的食物都分别挑选一种，它们可以互相搭配且总花费最小

限制

(1le n_1,n_2,n_3,n_4le 150000)

(1le a_i,b_i,c_i,d_ile 10^8)

(1le m_1,m_2,m_3le 200000)

思路

很容易想到是费用流的模板题，但费用流会出现(n^2)条边，这题显然不可行

由于每种限制仅针对两种种类的食物，所以可以想到拆成三部分的二分图来做（当然不是二分图匹配）

---

我们可以先处理第二道菜

原本(b_i)表示的是“编号为(i)的第二道菜的价格”

我们可以将({a})引入，从而让(b_i)表示“编号为(i)的第二道菜与某一种第一道菜搭配所能得到的最小花费”

即(b_i=b_i+min{a_j})，其中(a_j)与(b_i)能够搭配

处理好(b_i)后，接下来处理饮料时

原本(c_i)表示的是“编号为(i)的饮料的价格”

引入({b})，从而让(c_i)表示“编号为(i)的饮料与其所能搭配的(b_i)相加后，能得到的最小花费”

即(c_i=c_i+min{b_j})，其中(b_j)与(c_i)能够搭配

(d_i)同理，最终表示“编号为(i)的甜点与其所能搭配的(c_i)相加后，能得到的最小花费”

显而易见，答案就是(d_i)中的最小值

---

以将({a})引入(b_i)为例

如果我们想求出(b_i=b_i+min{a_j})，其中(a_j)与(b_i)能够搭配

最简便的方法就是枚举所有(a_j)，但这样的时间复杂度就会来到(O(n^2))，显然不可行

我们可以将数据存入结构体，记录原本的编号以及价格，将({a})进行排序

我们可以将所有不合法的搭配((x,y))存进set容器中，由于是对每个(b_i)找出最小的(a_j)，所以往编号为(y)的set容器内插入值(x)，表示({b})中的(y)不能与({a})中的(x)进行搭配

然后我们按顺序遍历排序后的({a})，每次在编号为(i)的set容器中二分查找是否存在一个值为(j)的元素

如果不存在，说明此时的(b_i)与(a_j)能够进行搭配，由因为保证了(a_j)是目前的最小值，所以直接让(b_i=b_i+a_j)即可，其后结束此次遍历

这种方法的时间复杂度为(O(nlogm))

将({b})引入(c_i)，将({c})引入(d_i)同理，详见代码注释

代码

(560ms/4000ms)

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=150050;

struct node
{
    int id,val;
    bool operator < (const node& a) const
    {
        return val<a.val;
    }
}a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];

int n1,n2,n3,n4;

set<int> v1[maxn],v2[maxn],v3[maxn];

void input()
{
    cin>>n1>>n2>>n3>>n4;
    rep(i,1,n1)
        cin>>a[i].val,a[i].id=i;
    rep(i,1,n2)
        cin>>b[i].val,b[i].id=i;
    rep(i,1,n3)
        cin>>c[i].val,c[i].id=i;
    rep(i,1,n4)
        cin>>d[i].val,d[i].id=i;
    
    int m1,m2,m3;
    cin>>m1;
    while(m1--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        v1[b].insert(a); //往编号为b的容器内插入a
    }
    cin>>m2;
    while(m2--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        v2[b].insert(a);
    }
    cin>>m3;
    while(m3--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        v3[b].insert(a);
    }
}

void solve()
{
    input();
    
    sort(a+1,a+1+n1); //对{a}进行排序
    
    rep(i,1,n2) //遍历所有bi
    {
        bool flag=false;
        rep(j,1,n1) //对于每一个bi，遍历排完序后的{a}
        {
            if(v1[i].find(a[j].id)==v1[i].end()) //如果aj与bi能够搭配
            {
                b[i].val=min(a[j].val+b[i].val,INF); //直接相加即可，注意与无穷大取小，方便数据处理
                flag=true;
                break; //找到之后就可以直接跳出此次遍历
            }
        }
        if(!flag)
            b[i].val=INF; //如果不存在搭配，将其标记为无穷大
    }
    
    sort(b+1,b+1+n2); //下同
    
    rep(i,1,n3)
    {
        bool flag=false;
        rep(j,1,n2)
        {
            if(v2[i].find(b[j].id)==v2[i].end())
            {
                c[i].val=min(b[j].val+c[i].val,INF);
                flag=true;
                break;
            }
        }
        if(!flag)
            c[i].val=INF;
    }
    
    sort(c+1,c+1+n3);
    
    rep(i,1,n4)
    {
        bool flag=false;
        rep(j,1,n3)
        {
            if(v3[i].find(c[j].id)==v3[i].end())
            {
                d[i].val=min(c[j].val+d[i].val,INF);
                flag=true;
                break;
            }
        }
        if(!flag)
            d[i].val=INF;
    }
    
    sort(d+1,d+1+n4);
    
    if(d[1].val==INF)
        cout<<"-1
";
    else
        cout<<d[1].val<<'
';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}

https://blog.csdn.net/qq_36394234/article/details/113821354