Codeforces Round #710 (Div. 3) F. Triangular Paths
题意
有一个无限高度的三角形，顶端编号为((1,1))，第(r)层有(r)个点，从左至右按顺序(c)编号为((r,c))，如图所示
对于每个节点((r,c))，都有两条连接下一层相邻节点((r+1,c),(r+1,c+1))的单向边，但这两条边在同一时间只有一条是有效边，且只有有效边能够通过
初始时，如果(r+c)是偶数，那么((r,c) ightarrow (r+1,c))是有效边；如果是奇数，那么((r,c) ightarrow (r+1,c+1))是有效边
你可以改变从某个点出发的有效边（若原来指向左边则现在指向右边，反之指向左边），这需要产生花费(1)
现给定(n)个点，保证在不考虑有效边的前提下，一定存在一条单向路径能够同时通过这(n)个点
问如果按任意顺序经过全部(n)个点，最小花费是多少
限制
(1le Tle 10^4)
(1le nle 2cdot 10^5)
(1le r_ile 10^9)
(1le c_ile r_i)
(sum nle 2cdot 10^5)
思路
淦读错题了，是道水题，又是差点ak的一次。。。
由于这是一个单向图，且根据题意，每走过一条边行数一定会增加(1)
又因为保证在不考虑有效边的前提下，一定存在一条单向路径能够同时通过这(n)个点，所以每个点的经过顺序一定是确定的
所以按照层数对(n)个点进行排序，然后按顺序处理即可
根据题意的初始有效边分布，可绘出下图
因为一定存在一条路径
往左下走会使得(r-c)值(+1)，(c)值不变
往右下走则会使得(c)值(+1)，(r-c)值不变
所以可以得到：每个经过的点的(c)与(r-c)值一定是非递减的
于是可以分类讨论“上一点”与“下一点”之间的关系来计算答案
- 假如“上一点((r_a,c_a))”与“下一点((r_b,c_b))”的(r-c)值相同
说明路径只有可能是全部按照((r,c) ightarrow (r+1,c+1))进行移动
那么讨论(r-c)的奇偶性：
如果(r-c)为奇数，那么在初始图中两点间刚好全是有效边，不需要产生任何花费
如果(r-c)为偶数，那么没有路径上没有任何一条边是有效边，将会产生(c_b-c_a)的花费
- 假如“上一点((r_a,c_a))”与“下一点((r_b,c_b))”的(r-c)值不同
这里可以将(lfloorfrac{r-c}2 floor)值相同的所有点看作一组，那么产生的花费就是这两个点跨越的组的数量
如果上一点的(r_a-c_a)值为偶数，则花费增加(lfloorfrac{Delta (r-c)}2 floor)
如果上一点的(r_a-c_a)值为奇数，则花费增加(lfloorfrac{Delta (r-c)+1}2 floor)
代码
(109ms/2000ms)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node
{
int r,c,d;
bool operator < (const node& a)
{
return r<a.r;
}
}ar[200050];
void solve()
{
int n;
cin>>n;
ar[0]={1,1,0};
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>ar[i].r;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>ar[i].c;
ar[i].d=ar[i].r-ar[i].c;
}
sort(ar+1,ar+1+n);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(ar[i].d==ar[i-1].d)
{
if(ar[i].d%2==0)
ans+=ar[i].c-ar[i-1].c;
}
else
{
if(ar[i-1].d%2==0)
ans+=(ar[i].d-ar[i-1].d)/2;
else
ans+=(ar[i].d-ar[i-1].d+1)/2;
}
}
cout<<ans<<'
';
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
int T;cin>>T;while(T--)
solve();
return 0;
}