欧几里得算法实现、正确性证明及时间复杂度分析

求最大公约数的最常用的算法是欧几里得算法,也称为辗转相除法。
问题定义为求i和j的最大公约数gcd(i,j),其中i和j是整数,不妨设i>j。
算法可以递归的表示:

1.如果j能整除i,那么gcd(i,j)=j;
2.j不能整除i,令r=i%j,那么gcd(i,j)=gcd(j,r).

　　上面的算法对于i<j的情况也是可以的，实际上是做了一次交换。

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使用C语言实现:

int gcd(int i, int j)
{
    int r = i % j;
    return r == 0 ? j : gcd(j, r);
} 

　　

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算法正确性分析

下面一步一步的切入

在证明之前先看一个说明：

对于两个数i=md,j=nd.

i、j的最大公约数是d的充要条件是：m和n互质。

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再看另一个说明：

如果m和n互质，那么(m-kn)和n也互质。

这个可以用反正法：

假设(m-kn)和n不互质，那么存在一个因子e，使得(m-kn)=en。

那么m=(k+e)n，这与m、n互质的题目条件违背，所以假设不成立。

则(m-kn)和n也互质。

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算法的步骤1，显然是成立的，因为这就是最大公约数的定义。

算法的步骤2：

其实算法证明的目标是r=i%j != 0时，gcd(i,j)=gcd(j,r)。

根据已知条件，设d是i、j的最大公约数，则

i=md,j=nd,其中m、n是互质的。（如果m、n不互质，d就不是最大公约数）

（现在要找的是gcd(j,r)的最大公约是也是d，那么就要用d去表示r，证明这个表达式的系数和n互质，那么d就是r和j的最大公约数）

接着上面的说，由于r=i%j,则i=kj+r其中k>=1,k=[m/n]，带入上面的等式：

md=kndr，所以r=(m-kn)d，又因为j=nd，n和(m-kn)互质，所以d是j、r的最大公约数。

算法的步骤1,显然成立(最大公约数定义).关键是要证明步骤2.
设d是i和j的最大公约数,
那么i=md,j=nd,m和n互质(否则d不是最大公约数).
由r=i%j可以得到i=kj+r,k=⌊m/n⌋,k≥1(我们前面假设过i>j).
把i=md,j=nd代入得到
md=knd+r
那么
r=(m-kn)d
m-kn和m也是互质的.
所以得到d是j和r的最大公约数.

　

时间复杂度分析

逆着看该算法,最后的余数是0,倒数第二次余数是d,倒数第三次是kd,k>1…
由于组成了一个数列,{0,d,kd,nkd+d,…}
数列的n项加上n+1项,比n+2项要小,所以比斐波纳契数列增长的要快.
我们已知斐波纳契数列增长速度是指数,那么待分析的数列也是指数增长.
设欧几里得算法需要k次,那么j=O(2^k),则k=O(lg j).
所以欧几里得算法求最大公约数的时间复杂度是对数量级的,速度非常快.