[查找]二分查找

部分有序的旋转数组

旋转数组起始就是数组元素的循环左移或者循环右移。例如：{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转数组。旋转数组是在非降序数组的基础上得到的，所以数组原本应该是有序的。

有序数组到旋转数组

如果真的利用循环左移或者循环右移来实现旋转数组，那么将有大量的元素要移动，所以一个好的方法要尽量的减少数组中元素的移动。

方法：

1.对数组的前部分元素做逆序操作
2.对数组的后部分元素做逆序操作
3.对数组的所有元素整体做逆序操作

逆序操作利用两个指针，一个头指针一个尾指针，都往中间移动，一次交换逆序。

旋转数组的最小值

查找最小值可以遍历一次，时间复杂度为O(n)，但是还可以更快的算法，看一下旋转数组的特性：

1.旋转数组是部分有序的
2.前面的部分>后面的部分
3.最小元素出现在两部分的边界

　　根据旋转数组的部分有序的特点，可以使用折半查找。

两个指针限定要查找的范围，分别是start和end
1.如果旋转数组等于原来的数组，也就是没有任何元素循环移动，也就是start对应的元素小于end对应的元素。
	那么第一个元素就是最小元素。
2.折半查找的终止条件：如果end-start=1，那么end对应的元素就是最小元素
3.取中间元素为mid=(start+end)/2
	如果mid对应的值等于start对应的值等于end对应的值，那么将是这种情况：{1,0,1,1,1,}，这时
		不能确定下表2对应的1，属于前半部分升序还是后半部分升序。折半查找失效，利用顺序查找。
	如果mid对应的值大于或者等于start对应的值，说明mid对应的值仍然在第一个升序的部分，
		那么start=mid（不能等于mid+1，因为终止条件是两者相隔1）
	如果mid对应的值小于或者等于end对应的值，那说明mid对应的值在第二个升序的部分，
		那么end=mid（不能等于mid-1，因为mid可能是最小元素）

代码实现：

int minNumberInRotateArray(vector<int> rotateArray) 
    {
        if(rotateArray.size() == 0)
            return 0;
        
        int index1 = 0;
        int index2 = rotateArray.size() - 1; 
        int indexMid = index1;
        
        //数组元素循环移动量为0
        if(rotateArray[index1] < rotateArray[index2])
            return rotateArray[index1];
        
        
        while(index1 < index2)
        {
            if(index2 - index1 == 1)
            {
                indexMid = index2;
                break;
            }//if
            
            indexMid = (index1 + index2) / 2;
            //顺序查找的条件
            if(rotateArray[index1] == rotateArray[index2] && rotateArray[index1] == rotateArray[indexMid])
            {
                return MinInOrder(rotateArray, index1, index2);
            }
            
            if(rotateArray[indexMid] >= rotateArray[index1])
            {
                index1 = indexMid;
            }
            else if(rotateArray[indexMid] <= rotateArray[index2])
            {
                index2 =  indexMid;
            }
        }//while
        
        return rotateArray[indexMid];
        
    }
    
    //顺序查找
    int MinInOrder(vector<int>& nums, int index1, int index2)
    {
        int result = nums[index1];
        for(int i = index1 + 1; i <= index2; i++)
        {
            if(result > nums[i])
            {
                result = nums[i];
            }
        }
        
        return result;
    }

十分注意这道题目的Test Case：

1.输入的数组的元素个数为0
2.数组只有一个元素
3.升序的数组（循环移动量为0）
4.有重复元素的循环数组（顺序查找）

有序数组，查找某个元素重复出现的次数　　

这个题目最简单的就是暴力查找，时间复杂度为O(n)，因为是有序数组，可以使用二分查找，这样的话时间复杂度就能减低为O(logn)，这时可能想着在找到的这个元素向其左右扩展，然后就可以找到所有的元素。其实这时的时间复杂度又降低到了O(n)，一个好的方法就是利用二分查找找到这个元素的左边界，然后找到右边界，通过两个边界就能求出元素的个数。这时就用到了两次二分查找。但是总得时间复杂度仍然是O(logn)。

下面代码只是确定左边界，代码实现：

/**
 * @param array: The integer array.
 * @param target: Target number to find.
 * @return: The first position of target. Position starts from 0. 
 */
int binarySearch(vector<int> &array, int target) 
{
	// write your code here
	int i = 0;
	int j = array.size() - 1;
	
	while(i <= j)
	{
		int mid = (i + j) / 2;
		if(array[mid] == target)
		{
			if(mid != 0 && array[mid - 1] == target)//继续向左边界查找
			{
				j = mid - 1;
			}
			else
			{
				return mid;
			}
			
		}
		else if(array[mid] > target)
		{
			j = mid - 1;
		}
		else
		{
			i = mid + 1;
		}
	}
	
	return -1;
}