skill:整体二分

例题:动态区间第k小

先上代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define N 50005
#define M 20005
using namespace std;
const int inf=1000000007;
struct zero{
    int x,y,k,op,id;
}q[N+M],q1[N+M],q2[N+M];
int tree[N],tot=0,n,m,ans[M];
int T,x,y,k,cnt=0;
int input[N];
char c;
void add(int a,int k){for(;a<=max(n,m);a+=lowbit(a))tree[a]+=k;}
int ask(int a){int ans=0;for(;a>0;a-=lowbit(a))ans+=tree[a];return ans;}
void solve(int ql,int qr,int l,int r){
  if(ql>qr)return;
  if(l==r){
      for(int i=ql;i<=qr;i++)
      if(q[i].op==0)ans[q[i].id]=l;
      return;
  }
  int t1=0,t2=0;
  for(int i=ql;i<=qr;i++){
    if(q[i].op){
        if(q[i].x<=mid)add(q[i].id,q[i].op),q1[++t1]=q[i];
        else q2[++t2]=q[i];
    }
    else{
        int sum=ask(q[i].y)-ask(q[i].x-1);
        if(sum>=q[i].k)q1[++t1]=q[i];
        else q[i].k-=sum,q2[++t2]=q[i];
    }
  }
for(int i=1;i<=t1;i++)if(q1[i].op)add(q1[i].id,-q1[i].op);
  for(int i=1;i<=t1;i++)q[i+ql-1]=q1[i];
  for(int i=1;i<=t2;i++)q[i+ql+t1-1]=q2[i];
  solve(ql,t1+ql-1,l,mid);
  solve(t1+ql,qr,mid+1,r);
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        cnt=tot=0;
        memset(q,0,sizeof q);
        memset(tree,0,sizeof tree);
        memset(q1,0,sizeof q1);
        memset(q2,0,sizeof q2);
        memset(ans,0,sizeof ans);
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",input+i);
            q[++tot].x=input[i],q[tot].op=1,q[tot].id=i;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            cin>>c;
            if(c=='C'){
                scanf("%d%d",&k,&x);
                q[++tot].x=input[k],q[tot].op=-1,q[tot].id=k;
                input[k]=x;
                q[++tot].x=input[k],q[tot].op=1,q[tot].id=k;
            }
            else {
                scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
                q[++tot].x=x,q[tot].y=y,q[tot].k=k,q[tot].op=0,q[tot].id=++cnt;
            }
        }
        solve(1,tot,-inf,inf);
        for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d
",ans[i]);
   }

}

解释一下struct zero:

对于修改函数:x表示修改的值,op表示该操作是修改还是查寻,id为该操作作用点在数组中的位置

对于查寻函数:x,y表示查寻区间,k表示在这区间中查找第k小,op和id意义同上

整体二分的主要思路就是把一段操作(修改和查寻)序列分成两段,分治操作

solve(ql,t1+ql-1,l,mid);
solve(t1+ql,qr,mid+1,r);

就是这样

那么怎么分段呢

我们来看solve(ql,qr,l,r)函数,

这里ql,qr,l,r的意义就是序列中ql到qr的所有询问,它的答案在l到r之间

算了我在代码里讲吧,那么请继续看代码

void solve(int ql,int qr,int l,int r){
  if(ql>qr)return;//特判防RE
  if(l==r){//l==r代表答案已经确定了,那么把ql到qr中所有询问答案赋成l
      for(int i=ql;i<=qr;i++)
      if(q[i].op==0)ans[q[i].id]=l;
      return;
  }
  int t1=0,t2=0;
  for(int i=ql;i<=qr;i++){
    if(q[i].op){
        if(q[i].x<=mid)add(q[i].id,q[i].op),q1[++t1]=q[i];//q[i]/x<=mid代表这个修改对ql到qr区间内的查寻有影响,我们把它加到树状数组里,又因为答案在l~mid里的询问又会受它影响
                                                         //所以要把它丢进q1继续发挥作用.至于答案在mid+1~r里的询问,虽然受它影响,但影响为定值,所以我们用树状数组计算出这个值即可消去影响
        else q2[++t2]=q[i];//对答案在l~mid里的询问没影响,加入q2影响后半段
    }
    else{
        int sum=ask(q[i].y)-ask(q[i].x-1);
        if(sum>=q[i].k)q1[++t1]=q[i];//同理,sum>=q[i].k表示q[i]的答案在l~mid内,查寻l~mid
        else q[i].k-=sum,q2[++t2]=q[i];//否则,减去先前的影响(定值)消去影响
    }
  }
for(int i=1;i<=t1;i++)if(q1[i].op)add(q1[i].id,-q1[i].op);//重置树状数组
  for(int i=1;i<=t1;i++)q[i+ql-1]=q1[i];
  for(int i=1;i<=t2;i++)q[i+ql+t1-1]=q2[i];
  solve(ql,t1+ql-1,l,mid);
  solve(t1+ql,qr,mid+1,r);//分治
}

然后注意main里把一个点变成x的操作要拆成两个操作实现

            if(c=='C'){
                scanf("%d%d",&k,&x);
                q[++tot].x=input[k],q[tot].op=-1,q[tot].id=k;
                input[k]=x;
                q[++tot].x=input[k],q[tot].op=1,q[tot].id=k;
            }