读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
前言
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
术语
- 概率分布函数(probability distribution function)
一个简单投机(lottery)(行动(a in A))在结果 $ X = { x_1, x_2, cdots, x_n }$上的概率分布记做
[p = (p(x_1|a), p(x_2|a), cdots, p(x_n|a)), \
where \
p(x_k|a) geq 0 ext{: the probability that } x_k ext{ occurs when take action a} \
sum_{k=1}^n p(x_k|a) = 1
$$。
- 累积分布函数(cumulative distribution function)
一个简单投机(lottery)行动$a in A$，在结果区间$X = [underline{x}, overline{x}]$上的累积分布函数：
]
F : X o [0, 1]
where
f(hat{x} | a) = Pr{x leq hat{x}} ext{: the probability that the outcome is less than or equal to } hat{x}.
[
- 期望收益(expected payoff from the lottery function)
一个简单投机(lottery)行动$a in A$，在结果区间$X = [x_1, x_2, cdots, x_n]$上的期望收益函数：
]
E[u(x)|a] = sum_{k=1}^n p_k u(x_k)
where
u(x) ext{: the payoff function}
p = (p_1, p_2, cdots, p_n) ext{: probability distribution}
[
- 连续案例：期望收益(expected payoff from the lottery function)
一个简单投机(lottery)行动$a in A$，在结果区间$X = [underline{x}, overline{x}]$上的期望收益函数：
]
E[u(x) | a] = int_{underline{x}}^{overline{x}} u(x)f(x)dx
where
u(x) ext{: the payoff function}
f(x|a) ext{: the cumulative distribution function}
[
- 经济人2
我们称一个人是理性的，如果这个人选择最大期望收益。
]
ext{choose } a^* in A iff v(a^) = E[u(x)|a^] geq E[u(x)|a^*] = v(a), a in A
[
## 考虑次序和时间
- 逆向归纳法(backward induction)
或者称为动态编程(dynamic programming)。
就是说在连续的随机案例下，从后向前，每个简单的投机，
都使用最大期望收益推算其投机行为，作为投机的计算行为，向前计算。
- 折扣合计期望(discounted sum of future payoffs)
]
v(x_1, x_2, cdots, x_n) = sum_{t=1}^{T} delta^{t-1} u(x_t)
where
T ext{: period}
u(x) ext{: the payoff function of outcome x}
[
## 风险态度
- 中立风险 - risk neutral
认为同样期望回报的价值相同。
- 厌恶风险 - risk averse
倾向于一个确定性的回报，不愿意采用一个拥有同样期望回报的不确定性方案。
- 喜爱风险 - risk loving
更严格地倾向于采用拥有同样期望回报的赌注。
> 到现在，基本上就是强化学习。
## 参照
* Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
- [读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题](http://www.cnblogs.com/steven-yang/p/8075901.html)]