读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 完整信息的静态博弈 理性和公共知识
理性和公共知识
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
纯策略中的优势(dominance)
- 数学表达: 除了玩家i以外所有玩家的策略集合
(S): 所有人的所有策略组合。
(S_{-i}): 除了玩家(i)以外，所有人的所有策略组合。
(s): 所有人的一种策略组合。
(s_{-i}): 除了玩家(i)以外，所有人的一种策略组合。
引进(S_{-i})和(s_{-i})是为了
- 通过看玩家i以外的所有玩家的策略，来考虑玩家i的策略。
- 或者专门看玩家i策略。
劣势（被支配）策略(Dominated Strategies)
- 定义 4.1：严格劣势于
对于玩家i，策略(s'_i)严格劣势于(s_i)，则：
断言 4.1
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
优势策略(Dominant Strategies)
- 定义 4.2： 严格优势策略(strictly dominant strategy)
策略(s_i in S_i)是一个严格优势策略，如果玩家i的任何其它策略都严格劣势于(s_i)。
- 定义 4.3： 严格优势策略均衡(strictly dominant strategy equilibrium)
策略组合(s^D in S_i)是一个严格优势策略均衡，如果其中每一个玩家i的策略都是严格优势策略。
推论 4.1
如果博弈(Gamma = (N, { S_i }_{i=1}^{N},{ v_i }_{i=1}^{N}))有一个严格优势策略均衡(s^D)，则(s^D)是唯一的严格优势策略均衡。
断言 4.2
如果有的话，玩家一定会选择优势策略。
策略，策略集合，策略组合和策略均衡
-
策略(strategy)
(s_i)是玩家的一个策略。 -
策略集合(strategy set)
(S_i)是玩家的所有策略集合。(s_i in S_i)
(S)是所有玩家的所有策略的组合的集合。 -
策略组合(strategy profile)
(s)是N个玩家的一种策略组合。(s = (s_1, s_2, cdots, s_n), s in S) -
策略均衡(strategy equilibrium)
(s)是任何一种导致合理结果的策略组合。
方法：严格劣势策略的迭代消除
博弈论方法就是一个寻找均衡的过程。
方法名：IESDS(Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies)
基本逻辑：
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
如果有的话，玩家一定会选择优势策略。
过程：略
- 迭代消除均衡(Iterated elimination equilibrium)
严格劣势策略的迭代消除(IESDS)过程中幸存下来的博弈组合(s^{ES})。
推论 4.2
如果博弈(Gamma = (N, { S_i }_{i=1}^{N},{ v_i }_{i=1}^{N}))，(s^*)是一个严格优势策略均衡，则(S^*)是唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。
信念(Beliefs)，最佳响应(Best Response)和可合理化(Rationalizability)
在已经学习的两个方法严格优势策略和严格劣势策略的迭代消除(IESDS)之外的情况下，如果玩家i的一个策略(s_i)不是一个严格劣势策略，那就意味着在一定条件下（对手的某些策略下），策略(s_i)是一个合理的响应。
- 最佳响应(best response)
玩家i的策略(s_i in S_i)是对手策略(s_{-i} in S_{-i})的最佳响应，则:
-
信念(belief)
一个玩家i的信念就是一个他对手们的可能策略组合(s_{-i} in S_{-i})。 -
最佳响应对应(best-response correspondence)
最佳响应对应(BR_i(s_{-i}))，是玩家i，在他的对手们的策略组合(s_{-i})上的所有可能最佳响应的集合。
(BR_i(s_{-i}))可以认为是一个函数，其结果是一个集合。 -
不是一个最佳响应(never a best response)
玩家i，对于他的对手们的策略组合(s_{-i})的最佳响应集合(BR_i(s_{-i}))，如果(s_{-i})不是在信任集合里，则(s_i in BR_i(s_{-i}))都不是最佳响应。
总结
方法
- 严格优势策略
- 严格劣势策略的迭代消除(IESDS)
- 去掉不可信的策略组合（或者保留可信的策略组合）。
推论 4.1
如果博弈(Gamma = (N, { S_i }_{i=1}^{N},{ v_i }_{i=1}^{N}))有一个严格优势策略均衡(s^D)，则(s^D)是唯一的严格优势策略均衡。
推论 4.2
如果博弈(Gamma = (N, { S_i }_{i=1}^{N},{ v_i }_{i=1}^{N}))，(s^*)是一个严格优势策略博弈，则(S^*)是唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡。
推论 4.3
对于玩家i，一个严格劣势策略(s_i)，不可能是任何(s_{-i} in S_{-i})的最佳响应。
推论 4.4
在一个有限普通形式的博弈中，(s^*)是一个严格优势策略，或者是一个唯一的严格劣势策略的迭代消除(IESDS)均衡，
则s_i^*是一个对于任何(s_{-i} in S_{-i})的最佳响应。
断言 4.1
一个理性玩家不会选择一个严格劣势策略。
断言
如果有的话，玩家一定会选择优势策略。
断言 4.2
一个理性玩家，在认为他的对手选择策略(s_{-i} in S_{-i})时，总会选择(s_{-i})的最想响应。
断言
一个理性玩家只会选择(他对手们的策略组合的)最佳响应。
参照
- Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)