读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 完整信息的静态博弈 混合的策略
混合的策略
本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。
策略，信念和期望收益
- 混合策略
玩家i的有限纯策略集合(S_i = {s_{i1}, s_{i2}, cdots, s_{im}})。
将(Delta S_i)定义为(S_i)的单纯形，是在(S_i)上所有概率分布的集合。
玩家i的一个混合策略(mixed strategy)是(sigma_i in Delta S_i)，
两个明显的条件:
-
(Delta S_i)的例子：(rock-paper-scissor)
(Delta S_i) = {(sigma_i(R), sigma_i(P), sigma_i(S)) : sigma_i(R), sigma_i(P), sigma_i(S) geq 0, sigma_i(R) + sigma_i(P) + sigma_i(S) = 1}( 表示所有)(sigma_i(R), sigma_i(P), sigma_i(S))$对，使得每个值都大于等于0，并且每个值的和为1。 -
(sigma(dot))支持策略(s_i)((s_i) is in the support of (sigma(dot)))
给定一个玩家i的混合策略(sigma(dot))，如果(sigma(s_i) > 0)，则称(sigma(dot))支持纯策略(s_i)。 -
连续策略集的混合策略
玩家i的纯策略集合(S_i)是一个值区间，则玩家i的一个混合策略是累积分布函数(F_i : S_i o [0, 1], where F_i(x) = Pr{s_i < x>})。
如果(F_i(dot))在密度(f_i(dot))上可微分，并且(f_i(dot) > 0)，则称(F_i(dot))支持纯策略(s_i)。 -
信念(belief)
信念(pi_i in Delta S_{-i})代表玩家i认为对手采用(s_{-i} in S_{-i})的概率。 -
期望收益(Expected Payoffs)
玩家i选择策略(s_i in S_i)，并且对手选择混合策略(sigma_{-i} Delta_{-i})，的期望收益:
玩家i选择混合策略(sigma_i in Delta S_i)，并且对手选择混合策略(sigma_{-i} Delta_{-i})，的期望收益:
- 混合策略的纳什均衡
混合策略组合(sigma^* = (sigma_1^*, sigma_2^*, cdots, sigma_n^*))是一个纳什策略，如果对于每个玩家(sigma_i^*)都是最佳响应。
推论 6.1
如果(sigma^*)是一个纳什博弈，并且(sigma^*支持)s_i(和)s'i(,则 )v_i(s_i, sigma{-i}^) = v_i(s'i, sigma{-i}^) = v_i(sigma^, sigma_{-i}^)$
Rock-Paper-Scissor
断言 6.1:
如果一个玩家选择纯策略，另一个玩家选择混合策略，则不存在纳什均衡。
断言 6.2:
如果至少有一个玩家选择只有两个纯策略的混合策略，则不存在纳什均衡。
严格劣势策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)
- 严格劣势
(s'_i in S_i)严格劣势于(sigma_i in Delta S_i)，如果满足条件：
- 不可能是一个最佳响应
对于玩家i的混合策略(sigma_i in Delta S_i)，这个混合策略作为最佳响应的对手混合策略(sigma_i in BR_i(sigma_{-1}))，如果对手的任何混合策略(sigma_{-1} in Delta S_{-i})都不在玩家i的信念中，则(sigma_i in Delta S_i)不可能是一个最佳响应。
断言
一个劣势混合策略(sigma_i)不可能是一个最佳响应。
推论 6.2
任何两人博弈中，策略(sigma_i)是一个严格劣势纯策略，当且仅当策略(sigma_i)不可能是一个最佳响应。
纳什存在定理
纳什存在定理(Nash's existence Theorem)
任何普通形式、具有限策略集合的博弈存在一个纳什均衡的混合策略。
纳什存在定理的证明用到了不动点定理。
布劳威尔不动点定理(Brouwer's Fixed-Point Theorem)
如果f(x)是一个连续函数从域[0, 1]到[0, 1](f:[0, 1] o [0, 1]),则存在至少一个点(f(x^*) = x^*, x^* in [0, 1])。
证明过程简介：连续函数f(x)一定和函数(f_1(x) = x)至少有一个交点。
- 最佳响应对应(collection of best response correspondence)
最佳响应对应集合(BR equiv BR_1 imes BR_2 imes cdots imes BR_n)，映射$Delta S equiv Delta S_1 imes Delta S_2 imes cdots imes Delta S_n $ 到自身。
也就是说：(BR : Delta S ightrightarrows Delta S), (BR(sigma) subset Delta S, for sigma in Delta S)
角谷不动点定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)
一个对应(C: X ightrightarrows X)有一个不动点，如果以下四个条件都满足：
- X是非空的，紧凑的，(mathbb{R}^n)的凸子集
- C(x)对于所有的x都非空。
- C(x)对于所有的x都是凸的。
- C有一个闭合图。
- 凸的(convex)
集合(X subseteq mathbb{R}^n)是凸的，如果集合X中任何两点的连线上的点都在集合X中。 - 闭合的(closed)
集合(X subseteq mathbb{R}^n)是闭合的，如果集合X边缘点在集合X中。(0, 1]是非闭合的，[0, 1]是闭合的。 - 紧凑的(compact)
集合(X subseteq mathbb{R}^n)是紧凑的，如果集合X是闭合并且有界。[0, 1]是紧凑的，([0, infty])是非紧凑的。 - 闭合图(closed graph)
图(C: X ightrightarrows X)是闭合图, 如果C是闭合的。
参照
- Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)