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  • 读书笔记: 博弈论导论

    读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈 重复的博弈

    重复的博弈(Repeated Games)

    本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

    有限地重复的博弈

    • 有限地重复的博弈(Finitely Repeated Games)
      给定一个阶段博弈(G),一个有限地重复的博弈被记做(G(T, delta)),其中阶段博弈(G)被连续进行了T次,(delta)是公共折扣因子。

    推论 10.1

    如果有限重复博弈的阶段博弈有一个唯一的纳什博弈,
    则这个有限重复博弈有一个唯一的子博弈精炼均衡。

    • 现值(present value)
      在一个无限队列的收益$ { v_i }_{i=1}^{infty}$中,玩家i的现值是

    [v_i = sum_{t=1}^{infty} delta^{t-1} v_i^t \ where \ 0 < delta < 1 ]

    • 平均收益(average payoff)
      在一个无限队列的收益$ { v_i }_{i=1}^{infty}$中,玩家i的现值是

    [ar{v_i} = (1 - delta) sum_{t=1}^{infty} delta^{t-1} v_i^t \ where \ delta < 1 ]

    • 策略
      在一个无限重复博弈中,(H_t)代表长度为t的所有可能历史的集合。
      (h_t in H_t)是一种历史。
      (H = cup_{t=1}^{infty} H_t)为所有可能历史的集合。
      玩家i的一个纯策略是一个映射(s_i: H o S_i),映射历史到这个阶段博弈的行动。
      玩家i的一个行为策略一个映射(sigma_i: H o Delta S_i),映射历史到这个阶段博弈的行动的随机选择。

    • 子博弈精炼均衡(Sub-game-perfect equilibria)
      一个纯博弈组合((s_1^*(cdot), s_2^*(cdot), cdots, s_n^*(cdot)), s_i: H o S_i, forall i in N)是一个子博弈精炼均衡,
      如果在每一个子博弈中,((s_1^*(cdot), s_2^*(cdot), cdots, s_n^*(cdot)))的约束都是一个纳什均衡。

    推论 10.2

    一个无限重复博弈(G(delta), delta < 1),其阶段博弈G的一个(静态)纳什均衡((sigma_1^*, sigma_2^*, cdots, sigma_n^*))
    定义这个重复博弈的每个玩家i的策略为不依赖历史的纳什策略,(sigma_i^*(h) = sigma_i^*, forall h in H)
    ((sigma_1^*(h), sigma_2^*(h), cdots, sigma_n^*(h)))为这个重复博弈的一个子博弈精炼均衡。

    不依赖历史的无限重复博弈中阶段博弈,其纳什均衡就是重复博弈的子博弈精炼均衡。

    推论 10.3

    在一个无限重复博弈(G(delta))中,一个策略组合是一个子博弈精炼均衡,
    当且仅当不存在玩家i在其单个历史(h_{t-1})中,可以从(s_i(h_{t-1}))偏离中获得更多的收益。

    • 凸组合(convex combination)
      给定两个矢量(v = (v_1, v_2, cdots, v_n))(v’ = (v‘_1, v’_2, cdots, v‘_n))
      (hat{v} = (hat{v}_1, hat{v}_2, cdots, hat{v}_n))是一个凸组合(convex combination),
      如果(hat{v} = alpha v + (1 - alpha) hat{v}, alpha in [0, 1])或者说(hat{v}_i = alpha v_i + (1 - alpha) hat{v}_i, forall i in [1, cdots, n])
      从几何上说凸组合位于两个点之间线段上的任意点。

    • 凸包(convex hull)
      给定一组矢量(V = {v^1, v^2, cdots, v^k }),则V的凸包(convex hull)为:

    [CoHull(V) = { \ v = sum_{j=1}^k alpha_j v^j \ where \ v in mathbb{R}^n, \ exists (alpha_1, cdots, alpha_k) in R_+^n, \ sum_{j=1}^k alpha_j = 1\ } ]

    几何上的理解为:
    当n = 2(矢量的维度是2)时,
    两个点的凸包就是两个点之间线段;
    多个点的凸包就是多个点之间组成的平面;
    当n > 2(矢量的维度 > 2)时,
    两个点的凸包就是两个点之间线段;
    多个点的凸包就是多个点之间组成的多维空间(维度为(m leq n land m leq k - 1))。

    • 可行收益(feasible payoffs)
      一个博弈的所有收益的凸包为可行收益的集合。

    大众定理(the folk theorem)

    (G(delta))为一个有限,同时选择的完整信息博弈,
    (v^* = (v_1^*, cdots, v_n^*))为博弈G的一个纳什均衡的收益,也是G的可行收益。
    如果存在(v_i > v_i^*, forall i in N, delta)为一个足够接近1的值,
    则对于(G(delta))的无限重复博弈,存在一个子博弈精炼均衡,其平均收益接近于(v = (v_1, cdots, v_n))

    大众定理由于是多人贡献,也搞不清是那些人,而得名。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/steven-yang/p/8275607.html
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