暑假D16 T3 密道（数位DP？ 打表找规律）

题意

对于一个（n+1）*（n+1）的矩阵，第一列和第一排为1，其他位置为1当且仅当上方和左方有一个1，其他为0；

对于100%的数据，n<=1e9

题解

稍微画了一下，感觉从图像看不大出来，就去打了一个表：

1,3,7,9,17,21,25,27,43,51,59,63,71,75,81;

这种东西一般就求差再看看，就会发现：2,4,2,8,4,4,2,16,8,8,4,8,4,4,2

这样还看不大出来，再分析数据对于30%的数据n=2^k-1，发现这个范围的答案就是3^k,于是直觉就分出了组

2

4,2

8,4,4,2

16,8,8,4,8,4,4,2

那么就比较明显了吧，下面一排前一半是上一排*2，后一半就是上一排。

那么就想到一种做法，先把n分成2^k+n'，就得到3^k，剩下n'部分再递归处理，他是一个组的一部分，再这个组的前一半的部分就是上一个组的一半，在这个组后一半的部分直接递归。

注意记忆化就ok，可以用map记忆化，其实差不多，map还有查找速度，虽然数组只能只能开1e6。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int maxn=1000005;
ll n;
ll ans,f[35][maxn];

int get(int x){
    int ret=-1;
    while(x){
        x>>=1;
        ret++;
    }
    return ret;
}

ll qpow(ll a,ll b){
    ll ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

ll dfs(int s,int k){//第s组，前k项 
    if(s==1) return  2;
    if(k<maxn&&f[s][k]) return f[s][k];
    ll mid=(1<<(s-2)),ret;
    if(k<=mid) ret=dfs(s-1,k)<<1;
    else ret=dfs(s-1,k-mid)+(dfs(s-1,mid)<<1);
    if(k<maxn) f[s][k]=ret;
    return ret;
}

int main(){
    freopen("c.in","r",stdin);
    freopen("c.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    n++;
    int k=get(n);
    ans+=qpow(3,k);
    n-=(1<<k);
    if(!n) {printf("%lld",ans);return 0;}
    ans+=dfs(k+1,n);
    printf("%lld",ans);
}

不过他们的规律好像和我不大一样，他们直接从答案入手，给出代码，具体原因之后再看。（code from ltw）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map> 
using namespace std;
long long n;
map < int,long long > mp;
long long solve (long long x){
    if (x==1) return 1;
    if (x==2) return 3;
    if (mp[x]) return mp[x];
    return mp[x]=2*solve (ceil ((double)(x/2.0)))+solve (floor ((double(x/2.0))));
}
int main(){
    freopen ("c.in","r",stdin); freopen ("c.out","w",stdout);
    scanf ("%lld",&n);
    printf ("%lld",solve (n+1));
}

还有看图像找规律的，三个1组成一个小三角形，再三个又是一个更大的。

先取一个lowbit（就是分解成2^k+n'），然后再怎么搞搞就OK了。（咱也不知道，咱也不敢问）

不过正解好像是数位DP？讲这个图形旋转45°就是杨辉三角？然后在利用Lucas定理？

话说今天数论都是打表搞的，这真是一个好方法。（掩饰自己不会数论）

顺便%%sxk  dalao，AK