暑假D17 T2 简单题1（杜教筛）

题目描述

珈百璃刚刚学习了杜教筛，想做一道简单题练练手。给出N，求：

$sum_{i=1}^{N}imu(i)$,答案对$1e9+7$ 取模

对于100%的数据，$Nleq 1e10$。

题解

利用上午讲的可以得到

$h(n)=sum_{d|n}dmu(d)g(frac{n}{d})$

当$g(x)=x$时

$h(n)=sum_{d|n}nmu(d)$

$h(n)=nsum_{d|n}mu(d)$

$h(n)=n[n=1]$

再直接套模板就好了$S(n)=frac{sum_{i=1}^{n}h(i) - sum_{i=2}^{n}    g(i) S(left lfloor frac{n}{i} ight floor) }{g(1)}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int mod=1000000007;
const ll inv=500000004;
const int maxn=6000000;
ll n;
ll cnt,prime[maxn+6],mu[maxn+6],s[maxn+6];
bool not_prime[maxn+6];
//h=f*g
//f(x)=x*mu(x)
//g(x)=x
//h(x)=n*[n==1]

void init(){
    s[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        s[i]=((s[i-1]+i*mu[i])%mod+mod)%mod;
        for(int j=1;prime[j]*i<=maxn;j++){
            not_prime[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            else {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}

map<ll,ll> mp;

ll djs(ll n){
    if(n<=maxn) return s[n];
    if(mp[n]) return mp[n];
    ll ans=1;
    for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);
        ll cx=((l+r)%mod)*((r-l+1)%mod)%mod*inv%mod;
        ans=(ans-cx*djs(n/l)%mod)%mod;
    }
    return mp[n]=(ans+mod)%mod;
}

int main(){
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    init();
    printf("%lld",djs(n));
}

小心爆long long，l、r可能到达1e10；

整除分块的操作也在里面。