题目
题目链接：https://gmoj.net/senior/#main/show/4015
思路
分三个\(sub\)。分值分别为\(35pts,35pts,30pts\)。
sub1
\(n\leq 10^6\),直接暴力递推即可。
sub2
\(m\leq 10^6\)，显然\(x_i\mod p\)存在长度不超过\(10^6\)的循环节，直接找循环节即可。
sub3
特殊限制\(m\in prime,2a|b,4ac=b^2-2b\)，发现和二次函数很像。
不妨设二次函数\(y=ax^2+bx+c\)，其中\(y\)就是\(x_i\)，\(x\)就是\(x_{i-1}\)。
\(2a,b,4ac\)等都与顶点式有关，所以将这个二次函数化为顶点式
\[y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}
\]
\[y=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b}{2a}
\]
\[y+\frac{b}{2a}=a(x+\frac{b}{2a})^2
\]
那么明显有
\[a(y+\frac{b}{2a})=[a(x_0+\frac{b}{2a})]^{2^n}
\]
即
\[x_n=a^{2^n-1}\times (x_0+\frac{b}{2a})^{2^n}-\frac{b}{2a}
\]
因为\(m\)是质数，所以\(a^p\mod m=a^{p\mod \varphi(m)}\mod m\)。
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000010;
ll x,a,b,c,n,p,t[N],vis[N];
ll power(ll x,ll k,ll MOD)
{
ll ans=1; x%=MOD;
for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
if (k&1) ans=ans*x%MOD;
return ans;
}
void solve1()
{
for (int i=1;i<=n;i++)
x=(a*x%p*x%p+b*x%p+c)%p;
printf("%lld",x%p);
}
void solve2()
{
int m=0;
x%=p;
for (;;m++)
{
if (vis[x])
{
n-=vis[x]; m-=vis[x];
printf("%lld",t[n%m+vis[x]]);
break;
}
vis[x]=m; t[m]=x;
x=(a*x%p*x%p+b*x%p+c)%p;
}
}
void solve3()
{
ll k1=(power(2,n,p-1)-1+p-1)%(p-1);
ll k2=power(2,n,p-1);
printf("%lld",((power(a,k1,p)*power(x+b/2/a,k2,p)-b/2/a)%p+p)%p);
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&b,&c,&n,&p);
if (n<=1000000LL) solve1();
else if (p<=1000000LL) solve2();
else solve3();
}