【CF613D】Kingdom and its Cities

题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/613/D
一个王国有 \(n\) 座城市，城市之间由 \(n-1\) 条道路相连，形成一个树结构，国王决定将一些城市设为重要城市。
这个国家有的时候会遭受外敌入侵，重要城市由于加强了防护，一定不会被占领。而非重要城市一旦被占领，这座城市就不能通行。
国王定了若干选择重要城市的计划，他想知道，对于每个计划，外敌至少要占领多少个非重要城市，才会导致重要城市之间两两不连通。如果外敌无论如何都不可能导致这种局面，输出-1。
\(1\leq n,q,\sum^{q}_{i=1}m_i\leq 10^5\)

思路

先考虑只有一个询问怎么做。首先很明显的一点是，输出 -1 的充要条件是存在两个重要节点相邻。
排除这种情况后，剩余的就是有解的。
设 \(cnt_x\) 表示 \(x\) 的子树中没有被截断的（与 \(x\) 通过若干条边相连的）点有多少个。注意不包括 \(x\) 本身。
那么

• 如果 \(key[x]=1\)，那么对于这 \(cnt_x\) 个点都要割掉一条边，\(ans\) 加上 \(cnt_x\)。
• 如果 \(key[x]=0\)，那么
  • 如果 \(cnt[x]=1\)，那么现在没必要割，显然留到后面割肯定更优。
  • 如果 \(cnt[x]>1\)，那么必须割掉 \(x\)，\(ans\) 加一。

这样就可以在 \(O(n)\) 的复杂度内解决这个问题。
但是现在有多组询问，我们发现 \(\sum m\leq 10^5\)，而每次询问我们只需要知道关键节点之间的信息，所以构建虚树即可。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=100010,LG=20;
int n,m,Q,tot,top,ans,a[N],dfn[N],head[N],st[N],f[N][LG+1],dep[N];
bool flag,key[N];
set<int> vis;

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

void add(int from,int to)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
	if (vis.find(from)==vis.end()) vis.insert(from);
	if (vis.find(to)==vis.end()) vis.insert(to);
}

bool cmp(int x,int y)
{
	return dfn[x]<dfn[y];
}

void dfs(int x,int fa)
{
	dfn[x]=++tot;
	f[x][0]=fa; dep[x]=dep[fa]+1;
	for (int i=1;i<=LG;i++)
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=fa) dfs(e[i].to,x);
}

int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
		if (f[x][i]!=f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}

bool build()
{
	st[++top]=0;
	sort(a+1,a+1+m,cmp);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int p=lca(a[i],st[top]);
		if (p!=st[top])
		{
			while (dep[st[top-1]]>dep[p])
			{
				add(st[top-1],st[top]);
				top--;
			}
			add(p,st[top]); top--;
			if (st[top]!=p) st[++top]=p;
		}
		st[++top]=a[i];
	}
	for (int i=top;i>=2;i--)
		add(st[i-1],st[i]); 
}

int dfs2(int x)
{
	int cnt=0;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		cnt+=dfs2(v);
		if (key[v] && key[x] && dep[v]==dep[x]+1) flag=1;
		if (flag) return -1;
	}
	if (key[x]) ans+=cnt,cnt=1;
		else if (cnt>1) ans++,cnt=0;
	return cnt;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,x,y;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y); add(y,x);
	}
	tot=0; dfs(1,0);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	tot=0;
	scanf("%d",&Q);
	while (Q--)
	{
		scanf("%d",&m);
		for (int i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			key[a[i]]=1;
		}
		build();
		dfs2(0);
		if (flag) printf("-1\n");
			else printf("%d\n",ans);
		for (set<int>::iterator it=vis.begin();it!=vis.end();it++)
			head[*it]=-1,key[*it]=0;
		vis.clear();
		flag=tot=ans=top=0;
	}
	return 0;
}