【SSLOJ1469】W

题目

思路

只把反色的边拿出来，构建成一片森林，那么最少的路径数即为奇数度数点的一半。

证明：
偶数点必然不能作为路径起点，因为如果作为起点，那么该点必然剩余奇数条出边，那么必然还有至少另外一条路径以该点为顶点，那么将这两条路径合二为一显然更优。
所以只有奇数点能作为路径起点，而显然任意奇数点最少需要成为一条路径的顶点，然后连边后所有度数为奇数的点变为度数为偶数的点，此时正好无法连边。
由于两个顶点组成一条路径，所以路径数即为奇数度数的点数的一半。

所以考虑树形 dp。设 \(f[x][0/1]\) 表示点 \(x\) 的子树内，\(x\) 与其父亲的边是否反色的最少路径数以及此时最少反色边数。那么记 \(p0,p1\) 分别表示 \(x\) 是否有个儿子与自己的路径反色的最小答案，那么可以分类讨论进行转移。
时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010,Inf=1e9;
int n,tot,head[N];

struct edge
{
	int next,to,id;
}e[N*2];

struct node
{
	int x,y;
	
	friend node operator +(node x,node y)
	{
		return (node){x.x+y.x,x.y+y.y};
	} 
}f[N][2];

node Min(node x,node y)
{
	if (x.x<y.x) return x;
	if (x.x>y.x) return y;
	return (x.y<y.y)?(x):(y);
}

void add(int from,int to,int id)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].id=id;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa,int id)
{
	node p0=(node){0,0},p1=(node){Inf,Inf};
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			dfs(v,x,e[i].id);
			node p00=Min(p0+f[v][0],p1+f[v][1]);
			node p11=Min(p0+f[v][1],p1+f[v][0]);
			p0=p00; p1=p11;
		}
	}
	f[x][0]=Min(p0,(node){p1.x+1,p1.y});
	f[x][1]=Min((node){p0.x+1,p0.y+1},(node){p1.x,p1.y+1});
	if (id==0) f[x][0]=(node){Inf,Inf};
	if (id==1) f[x][1]=(node){Inf,Inf}; 
}

int main()
{
	int size = 256 << 20; //250M
	char*p=(char*)malloc(size) + size;
	__asm__("movl %0, %%esp\n" :: "r"(p) );
	
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,u,v,a,b;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&a,&b);
		if (b==2) add(u,v,2),add(v,u,2);
			else add(u,v,a^b^1),add(v,u,a^b^1);
	}
	dfs(1,19260817,114514);
	printf("%d %d",f[1][0].x/2,f[1][0].y);
	return 0;
}