【CF449D】Jzzhu and Numbers

题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/449/D
给定一个长度为 (n) 的序列 (a)，求有多少种方案从 ({a_i}) 里面选出一个非空子集使这些数按位与起来为 (0)。
(n,a_ileq 10^6)。

思路

我们可以把选择第 (i) 个数看做 and 上 (a_i)，不选择第 (i) 个数看做 and 上 (mathrm{lim}=1048575)。
可以看做 (n) 个多项式进行 FWT，其中第 (i) 个多项式只有 (a_i) 和 (mathrm{lim}) 两位为 (1)，其余均为 (0)。
直接做 (n) 次 FWT 显然无法保证复杂度，考虑如何利用最多只有两位为 (1) 的性质。
因为只有两位为 (1)，所以 (FWT(A_i)_j=sum^{mathrm{lim}}_{k=0}c(j,k)[a_i=k]+c(j,mathrm{lim})=c(j,a_i)+c(j,mathrm{lim}))。
因为 and 卷积等价于 (FWT(A)_i=sum_{iin j}mathrm{val_j})，而 (mathrm{lim}) 包含 (1sim lim) 所有整数，所以

[FWT(A_i)_j=c(j,a_i)+c(j,mathrm{lim})=1+c(j,a_i) ]

我们只需要考虑第 (j) 项被多少 (a_i) 包含，因为只有这些 (a_i) 的贡献是 (2)，其余均为 (1)。然后快速幂计算即可。
那么直接上 and FWT 就好了。时间复杂度 (O(nlog n))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1050010,MOD=1000000007;
const int C[2][2][2]={{{1,1},{0,1}},{{1,MOD-1},{0,1}}};
int n,lim;
ll f[N];

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

void FWT(ll *f,int typ)
{
	for (int k=1;k<lim;k<<=1)
		for (int i=0;i<lim;i+=(k<<1))
			for (int j=0;j<k;j++)
			{
				ll x=f[i+j],y=f[i+j+k];
				f[i+j]=(x*C[typ][0][0]+y*C[typ][0][1])%MOD;
				f[i+j+k]=(x*C[typ][1][0]+y*C[typ][1][1])%MOD;
			}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		f[x]++;
	}
	lim=1048576;
	FWT(f,0);
	for (int i=0;i<lim;i++)
		f[i]=fpow(2,f[i]);
	FWT(f,1);
	printf("%lld",(f[0]%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}