【YbtOJ#893】带权的图

题目

题目链接：https://www.ybtoj.com.cn/contest/114/problem/2

(nleq 100,mleq 2000,a,b<Pleq 10^{18})。

思路

上来就是一堆条件要你求值直接劝退。。。
根据条件三，可以得到对于任意一个环

[sum B(v_i,v_{i+1})C(v_i,v_{i+1})-A(v_i,v_{i+1})equiv 0pmod p ]

对于一条边 ((u,v))，记 (D(u,v)=sum B(v_i,v_{i+1})C(v_i,v_{i+1})-A(v_i,v_{i+1}))，对于环上两点 (x,y)，我们把环拆成 (x o y) 和 (y o x) 的路径，那么

[sum_{x o y}D(v_i,v_{i+1})+sum_{y o x}D(u_i,u_{i+1})equiv 0pmod p ]

再根据条件一

[sum_{x o y}D(v_i,v_{i+1})equivsum_{y o x}D(u_{i+1},u_i) pmod p ]

也就是任意两条 (x o y) 的路径中，(sum D) 都相等。
所以考虑做差分，记 (g_x) 表示 (1) 到 (x) 的 (sum D)，那么 (D(x,y)=g_y-g_x)。
然后根据条件二可以对每一个点 (x) 列出一个方程

[sum_{(x,y)in E}frac{g_y-g_x+A(x,y)}{B(x,y)}equiv 0pmod p ]

高斯消元 (O(n^3)) 求出 (g)，然后就知道 (C) 了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

const int N=110,M=2010;
int n,m,U[M],V[M];
ll MOD,a[N][N],b[N][N],f[N][N],g[N];
bool G[N][N];

ll fmul(ll x,ll y)
{
	ll z=(ld)x*y/MOD,res=x*y-z*MOD;
	return (res%MOD+MOD)%MOD;
}

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=fmul(x,x)%MOD)
		if (k&1) ans=fmul(ans,x)%MOD;
	return ans;
}

void gauss()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=i;j<=n;j++)
			if (f[j][i])
			{
				for (int k=1;k<=n;k++)
					swap(f[i][k],f[j][k]);
				swap(g[i],g[j]);
				break;
			}
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			if (f[j][i])
			{
				ll base=fmul(f[i][i],fpow(f[j][i],MOD-2))%MOD;
				for (int k=1;k<=n;k++)
					f[j][k]=(fmul(f[j][k],base)-f[i][k])%MOD;
				g[j]=(fmul(g[j],base)-g[i])%MOD;
			}
	}
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		ll sum=0;
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			sum=(sum+fmul(g[j],f[i][j]))%MOD;
		g[i]=fmul(g[i]-sum,fpow(f[i][i],MOD-2))%MOD;
	}
}

int main()
{
	freopen("graph.in","r",stdin);
	freopen("graph.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%lld",&MOD);
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&U[i],&V[i]); x=U[i]; y=V[i];
		scanf("%lld%lld",&a[x][y],&b[x][y]);
		G[x][y]=G[y][x]=1; 
		a[y][x]=-a[x][y]; b[y][x]=b[x][y];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (G[i][j])
			{
				ll inv=fpow(b[i][j],MOD-2);
				f[i][j]=inv; f[i][i]=(f[i][i]-inv)%MOD;
				g[i]=(g[i]-fmul(inv,a[i][j]))%MOD;
			}
	gauss();
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=U[i],v=V[i];
		printf("%lld
",fmul(g[v]-g[u]+a[u][v],fpow(b[u][v],MOD-2)));
	}
	return 0;
}