快速幂 概念及模板

快速幂

顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

原理

以下以求  a的b次方 来介绍

把b转换成二进制数。该二进制数第i位的权为

例如b=11：

11的二进制是1011

11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1

因此，我们将a¹¹转化为算

                                

 

实现

快速幂可以用位运算来实现

b and    1  {也就是取b的二进制最低位(即第0位)　判断b是否为奇数，是则为1}

b shr 1  {就是去掉b的二进制最低位(即第0位)}

 

c++实现

 

b & 1   //取b二进制的最低位，判断和1是否相同，相同返回1，否则返回0，可用于判断奇偶

b >> 1  //把b的二进制右移一位，即去掉其二进制位的最低位

 

 

快速幂加取模模板

 

ll pow(ll n,ll m)
{
    ll ans = 1;
    while(m > 0)
    {
        if(m & 1)ans = (ans * n) % mod;
        m = m >> 1;
        n = (n * n) % mod;
    }
    return ans;
}

代码比较

常规求幂

int pow1(int a,int b){
   int r=1;
   while(b--) r*=a;
   return r;
} 

快速求幂（一般）

int pow2(int a,int b){
    int r=1,base=a;
    while(b!=0){
    if(b%2) r*=base;
    base*=base;
    b/=2;
    }
    return r;
}

 

快速求幂（位运算）

int pow3(int x,int n){
  if(n==0) return 1;
  else {
    while((n&1)==0){
      n>>=1;
      x*=x;
    }
  }
  int result=x;
  n>>=1;
  while(n!=0){
    x*=x;
    if(n&1) result*=x;
    n>>=1;
  }
  return result;
}

 

快速求幂（位运算，更简洁）

int pow4(int a,int b){
  int r=1,base=a;
  while(b){
    if(b&1) r*=base;
    base*=base;
    b>>=1;
  }
  return r;
}

参考: 百度百科