斯特林(Stirling)公式 求大数阶乘的位数

我们知道整数n的位数的计算方法为：log10(n)+1
n!=10^m
故n!的位数为 m = log10(n!)+1

lgN！=lg1+lg2+lg3+lg4+lg5+....................+lgN;

但是当N很大的时候，我们可以通过数学公式进行优化：（即Stirling公式）

N！=sqrt（2*pi*N）*（N/e）^N；（pi=3.1415926=acos（-1.0），e=exp(1)）

lgN！=(lg(2*pi)+lgN)/2+N*(lgN-lge);

斯特林公式可以用来估算某数的大小结合lg可以估算某数的位数，或者可以估算某数的阶乘是另一个数的倍数。

例题

https://www.nowcoder.net/acm/contest/75/A

题意 求解n的阶乘八进制下的位数

n!=8^res     n!=e^m

res=log8(n!)   m=loge(n!)

log8(n!)= loge(n!)/loge(8)  res = m/loge(8)换底公式

m=loge(2*pi*n)/2+n*loge(n/e)

AC代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double e = exp(1);
const double pi = acos(-1.0);
const double epx = 1e-10;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--){
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        if(n==0||n==1){
            puts("1");
            continue;
        }
        double res = (log(2*pi*n)/2.0+n*log(n/e))/log(8)+1;
        printf("%lld
",(ll)res);
    }
    return 0;
}