【位运算】大吉大利

大吉大利

给定(n)个整数，依次为(a_1,a_2,...,a_n。)

求(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n(a_i&a_j))。(&)是二进制的与运算符

容易想到二重循环

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		ans+=(a[i]&a[j]);

时间复杂度为(O(n^2))，又(n<=10^5)，超时了。

考虑与运算的性质：是将每个数字转化成二进制数，再一位一位作计算的。只有当两个数都为1时结果才为1，其它情况结果均为0。

以样例为例，5个数字化为二进制数得到

(00001)

(00010)

(00011)

(00100)

(00101)

对于最右边一列，在(a[1])与其它数（包括它本身）进行与运算时，这一列所得结果之和为3。(a[3])、(a[5])时的情况同理。故这一列在求和过程中的总结果为9。即这一列中1的数目的平方。

根据上述规律，继续计算其它列，最终得到的一串数字即所求和的二进制表示。

注意，将所求和的二进制数转化为十进制时，因为返回值可能需要long long储存，所以不能用math.h里的pow函数（返回类型为double），要重新写一个。

$color{green}{查看代码}$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;

long long a[1005], ans = 0;
long long pow(int base, int n)
{
    long long sum=1;
    while (n)
    {
        if (n&1) sum = base*sum;
        base *= base;
        n >>= 1;
    }
    return sum;
}

int main() {
    long long n, maxc = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) {
        long long num, cnt = 0, nm;
        cin >> num;
        while (num) {//数num的二进制数中有几位是1
            if (num & 1) a[cnt]++;
            //num&1不为0，说明num的二进制数中的最右边那位是1
            //a[cnt]++表示计数第cnt列的1的个数
            cnt++;
            num >>= 1;
            //相当于num/=2
            //num二进制数右移1位
        }
        maxc = max(maxc, cnt);
        //更新最长的二进制数的长度 
    }
    for (int i = 0;i < maxc;i++)
        ans += a[i] * a[i] * pow(2, i);
    cout << ans;
    return 0;
}