二分图学习笔记

预备知识

• 二分图：如果一张无向图((V,E))存在点集(A,B)，满足(|A|,|B|≥1)，(A∩B=empty)，(A∪B=V)，且对于(x,y∈A)或(x,y∈B)，((x,y) otin E)，则称这张无向图为二分图，(A,B)分别为二分图的左部和右部。
• 图的匹配：对于一张无向图((V,E))，若存在一个边集(E')，满足(E'sube E)，且对于任意(p,qin E')，(p,q)没有公共端点，则称(E')为这张无向图的一组匹配。
  • 匹配边/非匹配边：对于任意一组匹配(S)，属于(S)的边称为匹配边，不属于(S)的边称为非匹配边。
  • 匹配点/非匹配点：匹配边的端点称为匹配点，其他点称为非匹配点。
  • 匹配的增广路：如果二分图中存在一条连接两个非匹配点的路径(path)，使得非匹配边与匹配边在(path)上交替出现，则称(path)是匹配(S)的增广路。
    • 性质1：长度为奇数。
    • 性质2：奇数边是非匹配边，偶数边是匹配边。
    • 性质3：如果把路径上所有边的状态（是否为匹配边）取反，那么得到的新的边集(S')仍是一组匹配，并且匹配的边数增加了1.
• 最大匹配：在二分图中，包含边数最多的一组匹配。
• 完备匹配：在二分图(((A,B),E))中，设最大匹配为(E')，且有(|A|=|B|=|E'|)，则称二分图有完备匹配。
• 最优匹配：对于一张边有边权的二分图，所有最大匹配中边权总和最大的，称为最优匹配。

二分图判定

判定定理

一个无向图是二分图，当且仅当图中不存在奇环。

核心流程

一般应用染色法即可。

1. 将所有节点初始化为未染色。
2. 从一个未染色的节点(u)开始，染色为(c)。（如果(u)没有前驱，则(c)取(0)或(1)均可）
3. 从(u)出发遍历所有与其连接的节点(v)，如果：
   • (v)未染色，设(c)为节点(u)的相反色，跳转至第2步；
   • (v)颜色与(u)相同，则该图不是二分图；
   • (v)颜色是(u)的相反色，继续；

可以看出其实是一个DFS的过程。如果给定图是连通图，则一次DFS即可；否则需要遍历每一个点，每次从未染色的点开始DFS。

模板

bool dfs(int u, int c) {
	col[u] = c;
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		int v = e[i].to;
		if (col[v] == col[u]) return false;
		if (col[v] == -1 && !dfs(v, !col[u])) return false;
	}
	return true;
}

二分图匹配

二分图最大匹配

判定定理

二分图的一组匹配(S)是最大匹配，当且仅当图中不存在(S)的增广路。

匈牙利算法

1. 初始时设匹配(S)为空集，即所有边都是非匹配边。
2. 枚举二分图左部上的点(x)，给(x)寻找与其相连的右部点(y)尝试匹配，当满足下列条件之一时，匹配成功（找到增广路）：
   • (y)为非匹配点
   • (y)已与(x')匹配，但从(x')出发能找到另一个(y')与之匹配
3. 重复第2步，直到找不到增广路。

时间复杂度(O(p imes e+q))，其中(p)为左部点数量，(q)为右部点数量，(e)为图的边数。

一个小小的优化：当左部点数量明显大于右部点数量时，改为枚举右部点。

另(Dinic)跑最大流的时间复杂度是(O(nsqrt e))，其中(n)为节点总数，(e)为图的边数。

模板

bool vis[maxn];
int res[maxn];
//vis[i]记录节点i在试图改变匹配对象时成功与否
//res[i]记录节点i的匹配对象

bool match(int x) {
	//注意，参数x都是左部点
	for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
		int y = e[i].to;
		if (!vis[y]) {
			//对于左部点x而言，右部点y还没有试图“腾出来”过
			vis[y] = true;
			//尝试了就只有两种结果：y要么最终配上了x，要么实在腾不出来
			//无论是哪一种，y都没必要再次尝试“腾出来”了，所以只试一次就行
			if (!res[y] || match(res[y])) {
				res[x] = y;
				res[y] = x;
				//这里默认左部点和右部点的编号没有重复的
				return true;
			}
			//y还没有匹配过，或y的匹配对象x'可以找到新的匹配对象
			//则本次x与y的匹配成功
		}
	}
	return false;
}

int main() {
  ...
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= p; i++) {
		memset(vis, false, sizeof(vis));
		//对于枚举的每一个左部点，右部点的状态都是还没尝试过
		if (match(i)) ans++;
	}
  ...
}

二分图最优匹配

对于一张边有边权的二分图，所有最大匹配中边权总和最大的，称为最优匹配。

KM算法

1. 对于每一个左部点，以与它相连的所有边中的最大边权，给它赋一个期望值。对于每一个右部点，期望值设为0.
2. 枚举每一个左部点，开始匹配。原则：只选择边权与左右部点期望值之和相同的边。
3. 如果匹配成功，继续枚举。如果找不到符合要求的未匹配的边，那么尝试让符合要求的已匹配的边的右部点改换匹配对象。这一步与匈牙利算法大致一样，可以看作是寻找增广路(path)。
   • (path)上的所有左部点期望值(-z)；(path)上的所有右部点期望值(+z).其中(z)为能使左部点找到新边的最小改变量。
   • 重复第3步。

注意：在匈牙利算法中，(vis)数组是用于记录右部点(y)是否已尝试过；而在KM算法中，(vis)数组既有前述功能，也标记了节点(i)是否在增广路(path)上，以便期望值的增减。所以每枚举一个左部点，都要令vis[x]=true.

模板

int gap;
//记录能使节点配对成功的最小改变量
bool match(int x) {
	vis[x] = true;
  //别漏了这一步
	for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
		int y = e[i].to;
		if (!vis[y]) {
			int tmp = val[x] + val[y] - e[i].dis;
			if (tmp == 0) {
				vis[y] = true;
				if (!res[y] || match(res[y])) {
					res[x] = y;
					res[y] = x;
					return true;
				}
			}
			else if (tmp > 0) {
				gap = min(gap, tmp);
			}
		}
	}
	return false;
}

void km() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (1) {
			gap = INF;
			memset(vis, false, sizeof(vis));
			if (match(i)) break;
			//找不到符合要求的边，降低期望，重新尝试匹配
			for (int i = 1; i <= p; i++) {
				if (vis[i]) val_x[i] -= gap;
			}
      //左部点降低期望
			for (int i = 1; i <= q; i++) {
				if (vis[i]) val_y[i] += gap;
			}
      //右部点提高期望
		}
	}
}

二分图最小点权覆盖集

定义

• 图的点覆盖：对于无向图((V,E))，若存在一个点集(V'sube V)，对于任意(ein E)，(e)至少有一个端点属于(V')，则称(V')为图的一组点覆盖
• 二分图最小点权覆盖：在二分图中，包含点最少/点权最小的一组点覆盖为最小点权覆盖。

定理

最小点覆盖（所包含的点数）(=) 最大匹配（包含的边数）

二分图最大独立集

定义

• 图的独立集：对于无向图((V,E))，若存在一个点集(V')，满足(V'sube V)，且对于任意(p,qin V')，边((p,q) otin E)，则称(V')为这张图的独立集。
• 图的最大独立集：包含点数最多的独立集。
• 图的团：对于无向图((V,E))，若存在一个点集(V')，满足(V'sube V)，且对于任意(p,qin V')，边((p,q)in E)，则称(V')为这张图的一组团。
• 图的最大团：包含点数最多的团。

定理

对于一张(n)个节点的二分图，设其最大独立集为(V')，最小点覆盖集为(A')，最大匹配为(B')，有(|V'|=n-|A'|=n-|B'|)

DAG最小路径覆盖

定义

• 最小不相交路径覆盖：能覆盖所有节点且互不相交的路径的最少数量。
• 最小可相交路径覆盖：能覆盖所有节点且可以相交的路径的最少数量。
• 拆点二分图：设DAG的节点总数为(n)，将每个节点拆成编号为(x)和(x+n)的两个点。建立一张新的二分图，其中编号(1)_{$n$的节点为左部，编号$n+1$}(2n)的节点为右部。对于原图的每条有向边((x,y))，在二分图的左部点(x)与右部点(y+n)之间连边。最后得到的二分图为原图的拆点二分图。

定理

DAG的最小不相交路径覆盖=原图的节点数 - 新图的最大匹配

DAG的最小可相交路径覆盖的求法：用(Floyd)对原图求传递闭包，即可转化为求最小不相交路径覆盖。

模型要素

二分图匹配模型

• 点能分成内部没有边的两个集合
• 每个点只能与1条匹配边相连

二分图最小点覆盖模型

• 每条边有两个端点，二者至少选择一个