图论学习笔记——强连通分量/双连通分量

预备知识

• 强连通：对于图((V,E))上的两个顶点(u,v)，若存在从(u)到(v)的有向路径，同时也存在从(v)到(u)的有向路径，（注意有路径即可，也就是允许有中间顶点）则称这两个顶点强连通。
• 强连通图：若图((V,E))上的任意两个顶点都强连通，则称这个图为强连通图。
• 强连通分量：有向图的极大强连通子图

强连通分量（SCC，Strongly Connected Components）

求强连通分量（Tarjan算法）

(dfn[i]:=) 顶点(i)在搜索过程中的次序编号（时间戳），即记录顶点(i)是第几个被搜索到的顶点。

(low[i]:=) 顶点(u)及其后代顶点所能追溯到的最早的顶点（即祖先顶点）(v)的时间戳(dfn[v])。当顶点(u)第一次被搜索到时，初始化为low[i]=dfn[i].

int dfs_clock, scc_cnt;
int dfn[maxn], low[maxn], sccno[maxn];

void dfs(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++dfs_clock;
    //给顶点u打上时间戳
    s.push(u);
    for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to;
        if (!dfn[v]) {
            //顶点v还没被搜索到
            dfs(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            //维护祖先中最小的时间戳
        }
        else if (!sccno[v]) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
            //顶点v已经被搜索过了，但还不属于某一个SCC
        }
    }
    //对顶点u的所有后代顶点完成搜索之后
    //开始判断顶点u是不是这个强连通分量中第一个出现的顶点
    if (low[u] == dfn[u]) {
        scc_cnt++;
        //SCC数量+1
        while (1) {
            int x = s.top(); s.pop();
            sccno[x] = scc_cnt;
            //给分量中的所有顶点记录所在SCC的编号
            if (x == u) break;
            //访问完u之后，就完成了对这个SCC所有顶点的访问，跳出
        }
    }
}

void find_scc(int n) {
    dfs_clock = scc_cnt = 0;
    mem(sccno, 0);
    mem(dfn, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!dfn[i]) dfs(i);
    }
}

缩点

顾名思义，将图中的强连通分量看作是一个点，就是缩点。同时原图变为一个DAG，如此便可以将一个有环的图转化为DAG，可以利用DAG的性质解决问题。

问题一：给定一个有向图((V,E))，包含(n)个点和(m)条边，问至少还要再添加多少条边才能使整个图变成强连通图。

对于DAG，这个问题的答案是(max(a,b))，其中(a)是入度为零的顶点个数，(b)是出度为零的顶点个数。特别地，如果DAG中只有一个点，则答案为0。但问题中给出的图不一定无环，此时就可以用缩点的方法将图转化为DAG。

问题二：给定一个有向图((V,E))，包含(n)个点和(m)条边，每个点有一个权值。求一条路径，使得路径上点的权值和最大。允许多次经过一条边或一个点，但权值只计算一次。

对于DAG，这个问题就是求DAG上的最长路，用DAG上的dp即可解决。定义(dp[i])为从顶点(i)出发的路径的最大权值和，则转移方程为(dp[i]=max(dp[i],dp[j]+val[i]))，其中顶点(j)满足：存在(i→j)的有向边。

需要注意的是，在方程中需要先求出(dp[j])，才能用它来更新(dp[i])。具体代码实现有两种方法：

1. 记忆化搜索；
2. 先求图的拓扑排序，再以拓扑排序的倒序进行dp。

题目给定的图可能有环，只需对原图求强连通分量，缩点，建立新图，则新图就是DAG。