以下内容改编自华东师范大学出版的数学分析p289
一、构造原则
预备定理
【阿基米德有序域】
满足下列三个条件的集合F定义为有序域
1.F是域
在F上定义了加法“+”和乘法“”，使得F中任意元素a,b,c满足：
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c);
加法交换律：a+b=b+a
乘法结合律:(a*b)*c=a*(b*c)
乘法的交换律:a*b=b*a;
乘法关于加法的分配率:a(b+c)=ab+ac
在F中存在以下元素：
(【零元素】在F中存在一个元素“0”，使得对F中任一元素a，有a+0=a，则称“0”为"零元素"；)
(【反元素】对每一个元素ain F,有一个元素（-a）in F,使得a*a^{-a}=0, 则称-a为a的"反元素"。)
(【单位元素】在F中存在一个元素e,使得对F中任一元素a，有a*e=a,则称e为单位元素；（注意，不要跟无理数e混淆）)
(【逆元素】对每一个非零元素ain F,有一个元素a^{-1},使得a+(-a)=0,则称a^{-1}为a的逆元素。a与a^1互为逆元素；)
2.【有序域】
满足以下性质的域，定义为 “有序域”；
在F中定义了序关系“<”具有如下（全序）性质：
【传递性】对于F中的元素a、b、c，若a<b,b<c,则a<c;
【三歧性】F中任意两个元素a与b之间，以下三种关系，必居其一，也之居其一:
a<b,a=b,a>b
这里a>b，就是b<a
序与加法、乘法运算结合时，有如下性质：
加法保序性：若 a>b,则对任何cin F，有 a+c<b+c;
乘法保序性：若a<b，c>0,则 ac < bc
3 F中元素满足阿基米德性
【阿基米德性】
对F中任意两个正元素a,b,必存在自然数n，使得 na > b;
注意：a,b必须是正元素。
(另，设a=frac{1}{N},则存在n,有 n*frac{1}{N}>b;)
有理数集合Q是满足上面条件的阿基米德有序域，现在要从有理数出发，构造一个新的有序集，包括有理数和新数，并具备如下特征
1，是阿基米德有序域，
2，具有完备性，即：使得确界原理成立；
该新数集，称为【实数】
实数的构造法有，戴德金分割，康托尔的基本列说，区间套说，等；
二、分析
【完备性】
如果一个有序域能使 “确界原理” 成立，则称其为具有“完备性”；
有理数域Q不是完备的有序域，现在从有理数出发，构造一个具有完备性的有序域R；
下面讨论，假设这种域存在，那么应具有哪些性质。
引理1 一个有序域若具有完备性，必有 “阿基米德性”；（因为a的任意性，所以相当于a*N可以取到任意数值。）
证：假设不具有阿基米德性；
(即forall alpha,eta in 域中正元素，集合{na}中没有任何一项>b)
(则eta为集合{na}的上界)
(因题设“确界原理”成立，故exists 上确界lambda,对一切自然数n，有lambda geqslant n*alpha,)
(且exists n_{0},有n_{0}*alpha >lambda - alpha)
(移项：n_{0}*alpha + alpha > lambda)
(即: (n_{0}+1)*alpha>lambdaquadquad(1))
(而 (n_{0}+1)*alpha 是{n alpha }中元素，而lambda是{nalpha}的上确界，矛盾)
或者：
(因为(n_{0}+2)*alpha是{na}中元素，lambda是{na}上确界故：)
((n_{0}+2)leqslant lambda)
(结合(1)式，有(n_{0}+2)leqslant lambda < lambda(n_{0}+1))
(可得：(n_{0}+2)alpha< lambda(n_{0}+1)alpha)
(可得：alpha<0，与假设alpha为正元素矛盾)
(【几何分析】根本原因在n*alpha无界，如果有确界，那么最靠近确界的那个n*alpha可以跟确界无限接近，而下一个元素（n+1）alpha)
(的距离是固定的，当然会超过这个确界lambda)
(引理2quad 一个有序域，如果具有阿基米德性，则它的有理元素必在该域中稠密。即在该有序域中的任意两个不同元素)
(alpha和eta之间必然存在一个有理元素（从而存在无穷多个有理数）)
(【分析】)
(注意，不能用frac{alpha+eta}{2}存在于alpha和eta之间来证明，因为alpha和eta未必是有理数，故frac{alpha+eta}{2}也未必是有理数)
(设alpha和eta是域中两个不同元素，且alpha<eta)
(思路分析：如下图，根据阿基米德性，可知alpha和eta之间的差，大于一个frac{1}{N})
(推导过程:因为eta > alpha ，故eta-alpha>0，根据阿基米德性，存在N，使得:N(eta-alpha)>1)
(即quad eta-alpha>frac{1}{N})
(设d=frac{1}{N})
(在集合{nd,nin N^+}中，由阿基米德性，存在某项nalpha>alpha，设其中第一个大于alpha 的项为n_{0}alpha)
(即n_{0}d>alpha)
((n_{0}d-d)<alpha quadquad(1))
(下面证明n_{0}d<eta)
(用反证法，假设n_{0}d<eta)
(因为eta>alpha,而n_{0}d>eta,故n_{0}d-alpha>eta-alpha)
(而eta-alpha>d，故n_{0}d-alpha>d)
(可得：n_{0}d>d+alpha,即quad n_{0}d-d>alpha)
(与(1)式矛盾)
(故有：alpha<n_{0}d<eta,且d=frac{1}{N},n_{0}d为有理数)
(即,n_{0}d即为alpha与eta之间的有理数)
(下面研究，R中新数，即非有理数，与有理数的关系。设alphain R,但是alpha
otin Q)
(则forall gamma in Q,或者gamma>alpha,或者gamma<alpha,二者必居其一)
(设quad A={gamma|gammain Q,且gamma<alpha},)
(quadquad A'={gamma|gammain Q,且gamma>alpha})
(此时A和A'满足下面三个条件)
(1、A和'皆不空；)
(2、Acup A'=Q)
(3、若ain A,a'in A',则a<a')
(【定义1】)
若A,A'是满足上述三个条件的集合，则称序对（A，A'）为Q的一个分划，A称为该分划的下类，A'称为该分割的上类。
对于Q的分划只有下面三种：
(第一种：上类有端分划)
(quadquad forall gammain Q, A={x|xin Q,x<gamma}，A'={x|xin Q,xgeqslantgamma})
(第二种：下类有端分划)
(quadquad forall gammain Q, A={x|xin Q,xleqslantgamma}，A'={x|xin Q,x>gamma})
(以上两种称为有端分划,
)其中：(
)上类有端分划的上类有最小值，下类没有最大值；(
)下类有端分划的下类有最大值，上类没有最小值；(
)注：由引理2，不存在上类有最小值，下类有最大值的分划。否则最小值和最大值之间，有无穷多有理数。$
(第三种，无端分划，即：上类没有最小值，且下类没有最大值)
(例如：)
(A={x|xin Q, x<0，或者x^2<2})
(A'={x|xin Q,x>0且x^2>2})
(下面证明，在上面这个分割中，A没有最大值，A’没有最小值)
(forall x>1且x^2<2时，如果某个数为x+h,如果满足(x+h)^2<2,这个数x+h就介于x和sqrt{2}之间)
(因为h<1,(x+h)^2=x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h)
(如果要求上式<2,即：x^2+2xh+h^2<x^2+2xh+h<2)
(即：h<frac{2-x^2}{2x+1})
(满足上述条件的x+h即是比x更小的值，所以A没有最大值)
(类似，设x>0,且x^2>2,则对任何满足0<h<1)
(如果要求(x-h)^2>2，即quad x^2-2xh+h^2>2)
(而x^2-2xh+h^2>x^2-2xh)
(需x^2-2xh>2即可)
(即quad h<frac{x^2-2}{2x}即可)
(故，A'没有最小值)
(\)
(第三种分划的存在，说明有理数虽然稠密，但是有空隙，sqrt{2}就填补了上例的空隙)
(\)
(前面由新数alpha 分割成的A和A'如下，)
(A={x|xin Q,x<alpha},A'={x|xin Q,x>alpha})
(如果A有最大值，A'有最小值，则这两数之间没有任何有理数，与引理2矛盾)
(所以该分划属于无端分划。)
(且A与A’之间只有alpha一个新数，否则，如果有两个新数，则alpha与该新数之间没有任何有理数，与引理2矛盾)
(可知，该分划唯一确定了一个新数，且该新数也唯一确定了一个分划)
(即，分划与新数一一对应)
(\)
三、分划全体所构成的有序集
对每一个Q的第三种分划，都定义为一个新数，因为该分划与新数一一对应，所以把分划本身直接当成新数。
【注意：是对“有理数Q”的每一个第三种分划】
(\)
【定义2】
(Q的分划的全体称为分划集，以R表示，其中第一种分划和第二种分划看做同一种分划，即由同一个r产生的分划（即，以r作为分割点，或分割数字），)
(称为“有端分划”，并用r^*记这个分划，第三种分划称为“无端分划”)
(无论有端分划还是无端分划，都有小写字母表示，如alpha=[(A,A'))
(由于任一分划均由其上类，下类中的任何一类完全确定，因此，给定分划的一个类，也就完全确定了该分划。)
(戴德金定理)
设A与A'是R的子集，满足如下条件：
(1、A与A'不空；)
(2、Acup A'=R)
(3、若alpha in A,alpha'in A',则alpha<alpha')
分划A和A'的这个数，或者是下类的最大值，或者是上类的最小值；
即，或者上类有端，或者下类有端，即，或者上类有最小值，或者下类有最大值。
证明：（改编自菲赫金哥尔茨的微积分学教程）
(设产生这一分划的数为eta,因为eta in R,则eta必然属于A或者A'.)
(若属于A,则eta必为A中最大值，否则，如果存在r,有eta<r,则根据上面第三条，rin A',与rin A矛盾)
(同理，若eta in A',则必然是A'最小值)
【实数的完备性定理】
(设M为R的一个有上界的子集，则M必有上确界。即，M在R中全体上界所组成的集合有最小元。)
(【证明】)
(设M在R中全体上界组成的集合为A',设A=R\A',则(A,A')是R的一个分割。)
(（forall rin R,r或者是M的上界，或者不是，二者必居其一）)
(根据戴德金定理，或者A有最大值，或者A'有最小值。)
(因为A中没有M的上界，故forall a in A,exists min M,有a<m)
(由实数的稠密性可知，存在a_{1}，有a<a_{1}<m)
(故A中无最大值，则，根据戴德金定理，A'中必有最小值)
(而上界中的最小值，就是上确界)
注意：这个上确界有可能属于M。例如M={1,2,3,4,5},上确是所有大于等于5的实数，
上确界是5,5包含在A'中，因为上确界属于上界
(小引理：设b>a>0,k>0,exists nin N^+,有a+nk>b)
【证明】
(因为b>a,故b-a>0,由阿基米德性，exists nin N^+,使得nk>b-a)
(故：a+nk>b)
(引理3 对任何Q的分划（A,A'）及任何有理数k>0,存在ain A,a'in A',使得a'-a=k)
【证明】
(设cin A,c'in A'.由阿基米德性，在等差数列{a+nk}中存在某项>c')
(设第一个大于c'的项为n_{0}k,如果(n_{0}-1)k属于A，则(n_{0}-1)k和n_{0}k即为所求的a和a')
(否则，考察{n_{0}-2}k是否在A内，直到符合条件，即为所求)