(y=frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D})
(我们得到)
(y-x=frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D})
(并且)
(y^2-D=frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2})
(此时，如果x属于A_{1},那么x^2<D,此时y>x,且y^2<D。则y属于A_{1})
(如果假定x属于A_{2},则有x^2>D,y>0,y<x,且y^2>D。显然，y属于A_{2})
(这个分割是有非有理数产生)
(quad 这个现象，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的)
(quad 每一个这样的分割，都对应于一个非有理数,由此就产生了一个新数，即无理数alpha)
(我们认为该数完全由该分割产生。我们应该说这个新数alpha 对应于这个分割，或者说它制造了这个分割,)
(并且，从现在开始，只要两个分割不同，我们就说产生这两个分割的数不等。)
(quad 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由alpha 和eta 产生的两个分割)
((A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})中间的关系。显然，当分割(A_{1},A_{2})中的一个，例如A_{1}给定之后，这个分割就完全确定了，)
(因为A_{2}就是有理数去掉A_{1}后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a_{1}是第一类的元素，那么所有小于a_{1}的)
(数，都包含在第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类进行比较，会有如下结果)
(quad 1. 他们完全相同。即，任何一个属于A_{1}的元素，也属于B_{1},且每一个属于B_{2}的元素，也同样属于A_{1})
(此时，A_{2}与B_{2}也显然相同，此时我们用符号表示为alpha = eta,或eta=alpha)
(quad 但是，如果A_{1}与B_{1}不同，例如，A_{1}中的元素a_{1},没有包含在B_{1}中，因此被包含在B_{2}中，)
(这样B_{1}中的元素数量自然小于A_{1}中的数量)
(2.如果A_{1}中只有一个数a_{1}'是B_{1}所没有的，那么A_{1}中其他数字a_{1}也同样被包含在B_{1}中，且有a_{1}小于a_{1}',)
(即，a_{1}'是所有A_{1}元素中的最大的一个，因此，a_{1}',{A_{1},A_{2}}由alpha=a_{1}'=b_{2}'产生。再看{B_{1},B{2}}.)
(我们已经知道B_{1}中的所有数b_{1}也都包含在a_{1}中，且小于a_{1}'=b_{2}',b_{2}'属于B_{2};B_{2}中的其他元素b_{2}均大于)
(b_{2}',否则，如果b_{2}小于b_{2}'，那么就会小于a_{1}'，就会属于B_{1}；因此，b_{2}'是B_{2}中的最小数，因此(B_{1},B_{2}))
(由b_{2}’由同样的有理数eta=b_{2}'=a_{1}'=alpha 产生,两者的区别是非本质的)
(quad 3.如果在A_{1}中至少有两个数a_{1}'=b_{2}',a_{1}''=b_{2}'',不在B_{1}中，那么就有无数个这样的数存在。因为在这两数之间)
(的无穷多的数，都在A_{1}中，却都不在B_{1}中。这种情况下，我们说对应于两个本质上不同的分割(A_{1},{2})与(B_{1},B_{2})的两个数)
(alpha 和eta 是不同的，或者更进一步，我们说alpha>eta，以及eta<alpha,需要注意的是，这个定义与前面当alpha和eta)
(都是有理数时的定义完全一致。)
(quad 剩下的情况如下)
(quad 4.如果在B_{1}中存在一个且只有一个b_{1}'=a_{1}'，不属于A_{1},那么(A_{1},A_{2})与(B_{1},B_{2})仅仅是非本质性区别，)
(并且都是由同一个有理数alpha=a_{2}'=b_{1}'=eta产生)
(quadquad 5. 但是，如果B_{1}中至少有两个数是A_{1}中没有的，那么eta>alpha,或alpha<eta)
(quad 上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，只有其中一个大于另一个的情况.这一点在指定alpha和eta的大小关系时用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的经验，照搬到研究对象中。)
(---------------下面是原文第9页---------------)
(quad)
(quadquad 如果我们再稍微仔细些研究alpha>eta 的情况，显然，小的这个数eta 如果是有理数，那么必然属于A_{1},因为在A_{1}中)
(存在一个数a_{1}'=b_{2}'属于 B_{2},于是有，不管eta是B_{1}的最大值还是B_{2}的最小值，都有etale a_{1}',因此eta属于A_{1}.)
(同理,很显然，由alpha>eta,可知alpha属于B_{2},因为alphageq a_{1}'。结合上述两点，可得下面结果，如果一个切割是由数alpha产生，)
(那么任何一个有理数，如果小于alpha的数，划分于A_{1}，否则划分于A_{2};如果alpha是有理数，那么它自己可以随意划归于A_{1}或A_{2}).
(quadquad 最终，我们得到：若alpha>eta,即，如果有无穷多数，属于A_{1}，但是不属于B_{1},那么必然有无穷多数，既不同)
(于alpha也不同于eta;每个这样的数c都小于alpha，因为它属于A_{1}；同时c>eta,因为c属于B_{2})
(quadquadquadquad V)
(quadquadquad 实数域的连续性)
(作为前述特性产物，包含全体实数的系统R，建立了一个布局良好的一维域；这一切都是为了证明如下的结论：)
(I.若alpha>eta,且eta>gamma,则alpha > gamma .我们说eta在alpha和gamma之间)
(II.若alpha和gamma是两个不同的数，那么此二数之间有无穷多数eta存在；)
(III.若alpha是任意一个有限数，那么实数域R被分成A_{1}和A_{2}两类，每个类都包含无数多数，第一类A_{1}包含所有小于)
(alpha的数，第二类A_{2}包含所有大于alpha的数，alpha可以被任意归入任何一类，且相应成为A_{1}类的最大值或A_{2}类的最小值；)
(不管是上述哪一种情况，都会得到这样的结果：系统R被分成两类，第一类里的所有数，都小于第二类的所有数；并且我们说这个分割是alpha产生的；)
(quadquad 为简洁起见，也为了避免让读者太累，我把前面用的那些定理的证明放在了后面。)
(quadquad 除了上述特性，域R还有连续性；即，下面的定理成立：)
(quad IV.若包含全体实数的系统R被分成两部分A_{1}和A_{2},使得A_{1}中的所有数均小于和A_{2}中所有数，那么，)
(有且只有一个数能产生这样的分割；)
(------------------------pagequad 9-------------------)