RecursionAndDynamicProgramming（递归和动态规划）

1.有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一个方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。

思路：采用自上而下的方式解决问题。最后一步可能是从第n-1阶往上走1阶、从第n-2阶往上走2阶、或从第n-3阶往上走3阶。因此，抵达最后一阶的走法，就是抵达这最后三阶的方式的总和。

    public static int climbStairs(int n) {
        // Write your code here
        if (n <= 1){
            return 1;
        }
        long[] f = new long[n + 1];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        f[2] = 2;
        for (int i = 3; i < n + 1; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] + f[i - 3];
            f[i] = f[i] % 1000000007;
        }
        return (int)f[n];
    }

注意：上楼梯的方式总数很快就会突破整数（int型）的上限而溢出。当n=37时，结果就会溢出。所以使用long型，并且一直%1000000007。

2.设想有个机器人坐在X*Y网格的左上角，只能向右、向下移动。机器人从（0,0）到（X,Y）有多少种走法?

进阶：假设有些点为“禁区”，机器人不能踏足。设计一种算法，找出一条路径，让机器人从左上角移动到右下角。

解法：《九章算法》chapter nine unique-pathsI II

3.在数组A[0...n-1]中，有所谓的魔术索引，满足条件A[i]=i。给定一个有序整数数组，元素值各不相同，编写一个方法，在数组A中找出魔术索引，若存在的话。

解法一：蛮力法

    public boolean findMagicIndex(int[] A, int n){
        for(int i = 0; i < A.length; i++){
            if(i == A[i]) {
                return true;
            }
            
        }
        return false;
    }

解法二：充分利用数组有序这个条件，比较中间元素A[mid]和其位置mid，若A[mid]<mid，则魔术索引一定在数组右侧。

    public static int magicFast(int[] array, int start, int end) {
        if (end < start || start < 0 || end >= array.length) {
            return -1;
        }
        int mid = (start + end) / 2;
        if (array[mid] == mid) {
            return mid;
        } else if (array[mid] < mid) {
            return magicFast(array, mid + 1, end);
        } else {
            return magicFast(array, start, mid - 1);
        }
    }
    
    public static int magicFast(int[] array) {
        return magicFast(array, 0, array.length - 1);
    }

进阶：如果数组元素有重复值，又该如何处理？

思路：先比较midIndex和midValue是否相同。若两者不同，则按如下方式递归搜索左半部分和右半部分。

左半部分：搜索索引从start到Math.min(midIndex-1, midValue)的元素。

右半部分：搜索索引从Math.max(midIndex+1, midValue)到end的元素。

    public static int magicFast(int[] array, int start, int end) {
        if (end < start || start < 0 || end >= array.length) {
            return -1;
        }
        int midIndex = (start + end) / 2;
        int midValue = array[midIndex];
        if (midValue == midIndex) {
            return midIndex;
        //搜索左半部分
        }
        int leftIndex = Math.min(midIndex - 1, midValue);
        int left = magicFast(array, start, leftIndex);
        if (left >= 0) {
            return left;
        }
        //搜索右半部分
        int rightIndex = Math.max(midIndex + 1, midValue);
        int right = magicFast(array, rightIndex, end);
        return right;
    }
    
    public static int magicFast(int[] array) {
        return magicFast(array, 0, array.length - 1);
    }

4.编写一个方法，返回某集合的所有子集。

5.编写一个方法，确定某字符串的所有排列组合。

6.实现一种算法，打印n对括号的全部有效组合（即左右括号正确配对）。

示例：输入：3  输出：（（（））），（（）（）），（（））（），（）（（）），（）（）（）

7.编写函数，实现许多图片编辑软件都支持的“颜色填充”功能。给定一个屏幕（以二维数组表示，元素为颜色值）、一个点和一个新的颜色值，将新颜色值填入这个点的周围区域，直到原来的颜色值全都改变。

思路：假设要对一个像素(比如绿色)调用paintFill（也即点击图片编辑软件的填充颜色），我们希望颜色向四周"渗出“。我们会对周围的像素逐一调用paintFill，向外扩张，一旦碰到非绿色的像素就停止填充。

    public enum Color {
        Black, White, Red, Yellow, Green
    }
    
    public static boolean paintFill(Color[][] screen, int x, int y, Color ocolor, Color ncolor) {
        if (x < 0 || x >= screen[0].length || y < 0 || y >= screen.length) {
            return false;
        }
        if (screen[y][x] == ocolor) {
            screen[y][x] = ncolor;
            paintFill(screen, x - 1, y, ocolor, ncolor);
            paintFill(screen, x + 1, y, ocolor, ncolor);
            paintFill(screen, x , y - 1, ocolor, ncolor);
            paintFill(screen, x , y + 1, ocolor, ncolor);
        }
        return true;
    }
    
    public static boolean paintFill(Color[][] screen, int x, int y, Color ncolor) {
        if (screen[y][x] == ncolor) {
            return false;
        }
        return paintFill(screen, x, y, screen[y][x], ncolor);
    }

注意screen[y][x]中x和y的顺序，碰到图像问题时切记这一点。因为x表示水平轴（也即自左向右），实际上对应于列数而非行数。y的值等于行数。

8.给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。

9.设计一种算法，打印八皇后在8*8棋盘上的各种摆法，其中每个皇后都不同行、不同列，也不在对角线上。这里的“对角线”指的是所有的对角线，不只是平分整个棋盘的那两条对角线。

10.给你一堆n个箱子，箱子宽wi，高hi，深di。箱子不能翻转，将箱子堆起来时，下面箱子的宽度、高度和深度必须大于上面的箱子。实现一个方法，搭出最高的一堆箱子，箱堆的高度为每个箱子高度的总和。

11.给定一个布尔表达式，由0、1、&、|和^等符号组成，以及一个想要的布尔结果result，实现一个函数，算出有几种括号的放法可使该表达式得出result值。

示例：表达式：1^0|0|1 期望结果：false(0)  输出：1^（（0|0）|1）和1^（0|（0|1））两种方式